Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

45. MEĐUNARODNA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

Atena, Grčka, 4. - 18. srpnja 2004.


Zadaci


  1. (Rumunjska) Neka je ABC šiljastokutan trokut takav da je |AB| <> |AC|. Kružnica kojoj je promjer BC siječe stranice AB i AC u točkama M i N, tim redom. Polovište stranice BC je točka O. Sjecište simetrala kutova BAC i MON je točka R. Dokažite da se kružnice opisane trokutima BMR i CNR sijeku u točki na stranici BC.

  2. (Koreja) Odredite sve polinome P(x) s realnim koeficijentima koji zadovoljavaju jednakost

    P(a - b) + P(b - c) + P(c - a) = 2 P(a + b + c)

    za sve realne brojeve a,b,c takve da je ab + bc + ca = 0.

  3. (Estonija) Neka je kuka figura koja je načinjena od šest jediničnih kvadrata kao na slici

    kuka

    ili bilo koja figura dobivena od ove figure primjenom rotacija i osnih simetrija.

    Odredite sve m × n pravokutnike koji se mogu pokriti kukama tako da:

  4. (Koreja) Neka je n ≥ 3 prirodan broj. Neka su t1, t2, ... , tn pozitivni realni brojevi takvi da je

    n^2+1>(t1+...+tn)(1/t1+...+1/tn)

    Dokaži da su ti, tj, tk duljine stranica trokuta za sve i,j,k takve da je 1 ≤ i < j < kn.

  5. (Poljska) U konveksnom četverokutu ABCD dijagonala BD nije simetrala niti kuta ABC niti kuta CDA. Točka P je unutar kvadrata ABCD takva da je

    kut PBC = kut DBA   i   kut PDC = kut BDA.

    Dokažite da je ABCD tetivni četverokut ako i samo ako je |AP| = |CP|.

  6. (Iran) Prirodan broj nazivamo alternirajući ako su mu svake dvije susjedne znamenke u decimalnom prikazu različite parnosti.
    Odredite sve prirodne brojeve n takve da postoji alternirajući višekratnik od n.