Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

12. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Pula, 7. - 10. svibnja 2003.

Zadaci za III. razred


  1. U trokutu ABC je a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|, alfa = kut CAB, beta = kut ABC, gama = kut BCA.
    a) Ako je alfa = 3beta, dokažite da je (a2 - b2)(a - b) = bc2.
    b) Da li vrijedi obrat? Obrazložite.

  2. Dokažite jednakost

    [n(m+1)/(4n-2)]=[(n+1)/4]

    na svaki prirodan broj n > 2.

  3. Svi bridni kutovi pri vrhu D tetraedra ABCD jednaki su alfa, a kutovi između dviju strana tetraedra kojima je jedan vrh D jednaki su fi. Dokažite da postoji točno jedan kut alfa za koji je fi = 2alfa.

  4. Imamo 8 kockica duljine brida 1 čije su 24 strane obojene plavo, a preostalih 24 crveno. Dokažite da se od tih kockica može složiti kocka (2 × 2 × 2) na čijem oplošju će biti jednak broj plavih i crvenih kvadrata (1 × 1).