Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

12. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Pula, 7. - 10. svibnja 2003.

Zadaci za II. razred


  1. Nađite sve parove realnih brojeva (x,y) za koje vrijedi

    (2x + 1)2 + y2 + (y - 2x)2 = 1/3.

  2. Točka M je unutar kvadrata ABCD. Označimo s A1, B1, C1, D1 druge točke presjeka pravaca AM, BM, CM, DM, tim redom, s kružnicom opisanom kvadratu ABCD. Dokažite da je

    |A1B1| * |C1D1| = |A1D1| * |B1C1|.

  3. Za pozitivne brojeve a1, a2, ... , an, n * 2 označimo a1 + a2 + ... + an = s. Dokažite nejednakost

    a_1/(s-a_1)+...>=n/(n-1)

  4. Koliko najmanje brojeva može imati skup A prirodnih brojeva od kojih je najmanji jednak 1, najveći 100, i ima svojstvo da je svaki broj iz A, osim 1, jednak zbroju dva (jednaka ili različita) broja iz A?