44. MEĐUNARODNA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

Tokyo, Japan, 7. - 17. srpnja 2003.

Zadaci

1. Neka je A podskup skupa S = {1, 2, ... , 1000000} koji sadrži točno 101 element. Dokazati da postoje brojevi t₁, t₂, ... , t₁₀₀ u S takvi da su skupovi

   A_j = {x + t_j | x A}   za j = 1, 2, ... , 100

   u parovima disjunktni.

2. Odrediti sve parove (a, b) pozitivnih cijelih brojeva, takve da je

   a² / (2ab² - b³ + 1)

   pozitivan cijeli broj.

3. Dan je konveksan šesterokut kod kojeg svake dvije nasuprotne stranice imaju ovo svojstvo: udaljenost njihovih polovišta jednaka je produktu broja 3 / 2 i zbroja njihovih duljina. Dokazati da su svi kutovi šesterokuta mađusobno jednaki.
   (Konveksan šesterokut ABCDEF ima tri para nasuprotnih stranica: |AB| i |DE|, |BC| i |EF|, |CD| i |FA|.)

4. Neka je ABCD tetivni četverokut. neka su P, Q i R nožišta okomica iz točke D na pravce BC, CA i AB, tim redom. Dokazati da je |PQ| = |QR| ako i samo ako se simetrale kutova ABC i ADC sijeku u točki koja leži na pravcu AC.

5. Neka je n pozitivan cijeli broj i x₁, x₂, ... , x_n realni brojevi, takvi da je x₁ x₂ ... x_n.
   (a) Dokazati nejednakost

   

   (b) Pokazati da jednakost vrijedi ako i samo ako je x₁, ... , x_n aritmetički niz.

6. Neka je p prost broj. Dokazati da postoji prost broj q takav da za svaki cijeli broj n, broj n^p - p nije djeljiv s q.