Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

6. MEDITERANSKO MATEMATIČKO NATJECANJE

Zagreb, 12. travnja 2003.

Zadaci


  1. Dokažite da jednadžba

    x2 + y2 + z2 = x + y + z + 1

    nema rješenja u skupu racionalnih brojeva.

  2. Dan je trokut ABC u kojem je

    |BC| = |CA| + |AB| / 2.

    Točka P je na stranici AB takva da je

    |BP| / |PA| = 1 / 3.

    Dokažite da je kut CAP = 2 kut CPA.

  3. Neka je a, b, c >= 0, a + b + c = 3. Dokažite nejednakost

    a / (b2+1) + b / (c2+1) + c / (a2+1)  >=  3 / 2.

    Kada vrijedi jednakost?

  4. Promatrajte sistem od beskonačno mnogo metalnih sfera, čija su središta u točkama (a,b,c) iz Z3. Kažemo da je sistem stabilan ako je temperatura svake sfere jednaka srednjoj vrijednosti temperatura šest njoj najbližih sfera.
    Uz pretpostavku da je temperatura svake sfere između 0o C i 1o C, te da je sistem stabilan, dokažite da sve sfere moraju imati jednaku temperaturu.