6. MEDITERANSKO MATEMATIČKO NATJECANJE

Zagreb, 12. travnja 2003.

Zadaci

1. Dokažite da jednadžba

   x² + y² + z² = x + y + z + 1

   nema rješenja u skupu racionalnih brojeva.

2. Dan je trokut ABC u kojem je

   |BC| = |CA| + |AB| / 2.

   Točka P je na stranici AB takva da je

   |BP| / |PA| = 1 / 3.

   Dokažite da je CAP = 2 CPA.

3. Neka je a, b, c 0, a + b + c = 3. Dokažite nejednakost

   a / (b²+1) + b / (c²+1) + c / (a²+1)    3 / 2.

   Kada vrijedi jednakost?

4. Promatrajte sistem od beskonačno mnogo metalnih sfera, čija su središta u točkama (a,b,c) . Kažemo da je sistem stabilan ako je temperatura svake sfere jednaka srednjoj vrijednosti temperatura šest njoj najbližih sfera.
   Uz pretpostavku da je temperatura svake sfere između 0^o C i 1^o C, te da je sistem stabilan, dokažite da sve sfere moraju imati jednaku temperaturu.