Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

11. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Zadar, 2. - 5. svibnja 2002.

Zadaci za IV. razred


  1. Izračunajte beskonačni zbroj

    s = 1 + 4x + 9x2 + ... + n2xn -1 + ... ,

    gdje je |x| < 1.

  2. Vrhovi kocke u prostornom koordinatnom sustavu s ishodištem O su u točkama A(1,1,1), A'(-1,-1,-1), B(-1,1,1), B'(1,-1,-1), C(-1,-1,1), C'(1,1,-1), D(1,-1,1), D'(-1,1,-1). Točka O je središte kocki opisane sfere. Neka točka T nije na toj sferi i d = |OT|. Označimo s alfa = kut ATA', beta = kut BTB', gama = kut CTC' i delta = kut DTD'. Dokažite da je

    tg2alfa + tg2beta + tg2gama + tg2delta = 32d2 / (d2 - 3)2   .

  3. Neka je f(x) = x2002 - x2001 + 1. Dokažite da su za svaki prirodan broj m brojevi m, f(m), f(f(m)), f(f(f(m))), ... , u parovima relativno prosti, tj. da nikoja dva među njima nemaju zajednički djelitelj veći od 1.

  4. Neka je (an), n iz N, rastući niz prirodnih brojeva. Za član ak tog niza kažemo da je dobar ako se može prikazati kao suma nekih drugih (ne nužno različitih) članova tog niza. Dokažite da su svi članovi tog niza, osim njih konačno mnogo, dobri.