Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

11. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Zadar, 2. - 5. svibnja 2002.


Zadaci za III. razred


  1. U trokutu ABC kutovi alfa = kut BAC i beta = kut CBA su šiljasti. S vanjske strane trokuta, nad stranicama AC i BC kao bazama, konstruirani su jednakokračni trokuti ACD i BCE s vršnim kutovima kut ADC = beta, odnosno kut BEC = alfa. Neka je O središte kružnice opisane trokutu ABC. Dokažite da je |DO| + |EO| jednako opsegu trokuta ABC ako i samo ako je kut kut ACB pravi.

  2. Dokažite da se prirodan broj može prikazati kao zbroj dva ili više uzastopnih prirodnih brojeva ako i samo ako taj broj nije potencija broja 2.

  3. Na dijagonalama AB1 i CA1 bočnih strana ABB1A1 i CAA1C trostrane prizme ABCA1B1C1 dane su točke E i F takve da je EF || BC1. Nađite omjer duljina dužina EF i BC1.

  4. Na otoku živi n domorodaca. Svaka dva su ili prijatelji ili neprijatelji. Jednog dana poglavica naredi svim stanovnicima (uključujući i sebe) da si naprave i da nose kamene ogrlice, tako da svaka dva prijatelja imaju barem po jedan istovrsni kamen u svojim ogrlicama, a da se sva kamenja u ogrlicama dvaju neprijatelja razlikuju. (Ogrlica može biti i bez kamenja.) Dokažite da se poglavičina zapovijed može izvršiti koristeći [n2/4] različitih vrsta kamenja, i da se općenito ovo ne može postići s manje kamenja.