Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

11. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Zadar, 2. - 5. svibnja 2002.

Zadaci za I. razred


  1. Duljina srednjice trapeza je 4, a kutovi uz jednu osnovicu su 40o i 50o. Odredite duljine osnovica ako je udaljenost njihovih polovišta jednaka 1.

  2. Dokažite da za bilo koje pozitivne brojeve a, b, c i bilo koji nenegativan cijeli broj p vrijedi nejednakost

    ap+2 + bp+2 + cp+2 >= apbc + bpca + cpab.

  3. Nađite sve trojke (x,y,z) prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu

    2x2y2 + 2y2z2 + 2z2x2 - x4 - y4 - z4 = 576.

  4. "Kolo sreće" podijeljeno je na 30 odjeljaka u koje su upisani brojevi 50, 100, 150, ... , 1500 (u nekom redosljedu). Dokažite da postoje tri uzastopna odjeljka u kojima je zbroj brojeva veći ili jednak 2350.