Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

43. MEĐUNARODNA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

Glasgow, Velika Britanija, 19. - 30. srpnja 2002.


Zadaci


  1. (Kolumbija) Neka je n pozitivan cijeli broj. Označimo s T skup točaka (x,y) u ravnini za koje su x i y nenegativni cijeli brojevi i x + y < n. Svaka točka iz skupa T obojana je crveno ili plavo. Ako je točka (x,y) obojana creveno, takve su i sve točke (x',y') iz skupa T za koje je x' <= x i y' <= y. Skup od n plavih točaka s međusobno različitim x-koordinatama nazovimo X-skup, a skup od n plavih točaka s međusobno različitim y-koordinatama nazivamo Y-skup. Dokažite da je broj X-skupova jednak broju Y-skupova.

  2. (Koreja) Neka je BC promjer kružnice Gama sa središtem u točki O. Označimo s A točku na Gama takvu da je 0o < kut AOB < 120o. Neka je D polovište luka AB koji ne sadrži točku C. Pravac koji prolazi kroz točku O i paralelan je s DA siječe pravac AC u točki J. Simetrala dužine OA siječe kružnicu Gama u točkama E i F. Dokažite da je J središte trokutu CEF upisane kružnice.

  3. (Rumunjska) Nađite sve parove (m,n) cijelih brojeva m, n >= 3 za koje postoji beskonačno mnogo pozitivnih cijelih brojeva a takvih da je

    (am + a - 1) / (an + a2 - 1)

    cijeli broj.

  4. (Rumunjska) Neka je n prirodan broj veći od 1. Neka su d1, d2, ... , dk svi pozitivni djelitelji broja n takvi da je

    1 = d1 < d2 < ... < dk = n.

    Definirajmo D = d1d2 + d2d3 + ... + dk-1dk.
          (a) Dokažite da je D < n2.
          (b) Odredite sve brojeve n za koje je D djelitelj broja n2.

  5. (Indija) Nađite sve funkcije f : R ---> R, pri čemu je R skup realnih brojeva, takve da je

    (f(x) + f(z)) (f(y) + f(t)) = f(xy - zt) + f(xt + yz)

    za sve x, y, z, t iz R.

  6. (Ukrajina) Neka su Gama_1, Gama_2, ... , Gama_n, kružnice polumjera 1 u ravnini, pri čemu je n >= 3. Označimo njihova središta redom s O1, O2, ... , On. Pretpostavimo da nijedan pravac nema zajedničkih točaka s više od dvije promatrane kružnice. Dokažite nejednakost

    sum(1/OiOj) <= (n-1)pi/4