Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

Broj 1 




























 

Tvrtko Bedeković, Borko Jandras, Darko Žubrinić

Matrične transformacije ravnine


Sadržaj:


Ako vam appleti ne fukcioniraju, za broswer je potreban Java plug-in.
Također možete pogledati print-verziju ovog članka u kojoj su appleti zamijenjeni slikama.


Svakoj točki ravnine s koordinatama (x,y) pridružujemo točku druge ravnine s koordinatama (x',y'), koje računamo na sljedeći način:

x' = a x + b y

y' = c x + d y.

Koeficijenti a, b, c i d su unaprijed zadani realni brojevi. Odabiru se po volji i grupiramo ih u matricu A:

A =
a
b
c
d

Gornju transformaciju možemo kraće prikazati kao preslikavanje (linearni operator) A : R2 --> R2 opisano s:

v' = Av,

gdje je v = (x,y)T i v' = (x',y')T (T je transponiranje, tako da su v i v' vektori stupci).
  • Ako uzmemo kanonsku bazu i = (1,0)T, j = (0,1)T u ravnini R2, onda je

    Ai = ai + cj,
    Aj = bi + dj
    .

    Komponente vektora Ai i Aj (u kanonskoj bazi) su prema tome upravo vektori stupci matrice A, pa možemo uvjetno pisati da je A = [Ai,Aj].

Matrične transformacije ćemo ilustrirati tako da uzmemo neki lik u lijevom prozorčiću s koordinatnim sustavom (x,y), i pogledamo u što se on preslikava u desnom prozorčiću s koordinatnim sustavom (x',y').

Diskusiju koja slijedi možete testirati, a i sami eksperimentirati, pomoću dva efektna programa za vizualizaciju matričnih transformacija koje su izradili prvi i drugi autor ovog članka.

  • Tvrtko Bedeković:

Browser ne raspoznaje Javu.
  • Borko Jandras: otvorite C++ prozor
    (u meniju možete odabrati i sliku paške čipke).
    Uzorak paške čipke preuzet je iz knjige Pag otok, Turistkomerc i Turistički savez općine Pag, 1983.

Primijetite da paralelogram P u lijevom prozoru uvijek prelazi u paralelogram P' u desnom.


S obzirom na regularnost matrice A imamo ove dvije mogućnosti.

  • Matrica A je regularna, tj. det A nije nula. U tom je slučaju transformacija ravnine bijektivna, i obratno. Ako transformiramo neki lik u ravnini (x,y), svi će "bitni" detalji nakon preslikavanja ostati sačuvani. Bijektivnost transformacije znači da nema lijepljenja različitih točaka u istu točku (injektivnost) i da su sve točke u dolaznoj ravnini pogođene (surjektivnost).

  • Ako je determinanta matrice jednaka nuli, tj. det A = 0, dolazi do drastične promjene slike. Rang matrice je strogo manji od maksimalnog, tj. r(A) < 2. Moguća su dva slučaja:

    • r(A) = 1. Ako je rang matrice A jednak 1, preslikani skup je jednodimenzionalan. Točnije, cijela ravnina transformira se u neki pravac kroz ishodište. To će se dogoditi kada svi koeficijenti nisu jednaki nula, i redci su proporcionalni s istim faktorom proporcionalnosti, tj. a/c = b/d (jer je to ekvivalentno s det A = ad - bc = 0). Isto vrijedi i za stupce.
      • Npr. za a = b = 1, c = d = 2, tj.
        A =
        1
        1
        2
        2

        je x' = ax + by = x + y, y' = cx + dy = 2(x + y) = 2x'. Cijela ravnina se preslikava u pravac y' = 2x' i to je slika matrice A. Dimenzija slike jednaka je upravo rangu matrice, tj. ovdje je r(A) = 1. Nul-potprostor (ili jezgra) matrice A definira se kao skup rješenja jednadžbe Av = 0. Taj skup je za ovu matricu pravac y = -x :

      Browser ne raspoznaje Javu.

      Koordinatni sustav x', y' se u gornjem appletu podudara s koordinatnim sustavom x, y. Vektor v zadaje se povlačenjem miša s pritisnutom lijevom tipkom. Nakon toga se za svaki vektor v skoro istoga trenutka izračunava vrijednost vektora Av.

    • r(A)=0. Ako je rang jednak nuli, cijela se ravnina preslika u ishodište. To odgovara slučaju kad su svi koeficijenti matrice jednaki nuli, tj. A je nul-matrica. Sve informacije o početnom liku su izgubljene.

      A =
      0
      0
      0
      0

      Browser ne raspoznaje Javu.

      Nul-potprostor matrice A = 0 je cijela ravnina, tj. N(A) = R2, a slika od A je nul-potprostor, tj. nul-vektor.

Primijetite da će slučajnim odabirom svojih četiriju koeficijenata matrica A skoro sigurno biti regularna (tj. skoro sigurno će det A biti različita od nule). Točnije, može se pokazati da je vjerojatnost da slučajnim odabirom četiriju matričnih koeficijenata dobivena matrica A bude regularna (tj. det A nije nula) jednaka jedan.

Pogledajmo neke specijalne tipove matričnih transformacija ravnine.

  • Homotetija. Ovdje je b = c = 0, tj. matrica A je dijagonalna:
    A =
    a
    0
    0
    d
    Determinanta matrice A je umnožak dijagonalnih elemenata, tj. ad.
    • Za d = 1, slobodnim odabirom koeficijenta a dobivamo homotetiju u smjeru osi x:
      A =
      a
      0
      0
      1
      • Za a = d = 1 dobivamo jediničnu matricu I, a pripadna transformacija je identiteta, koja ne mijenja ništa:
        I =
        1
        0
        0
        1

        Browser ne raspoznaje Javu.

      • Za |a| < 1 dobivamo kontrakciju (stezanje) u smjeru osi x,
      • dok za |a| > 1 dobivamo dilataciju (rastezanje).
      • Za a = 0 imamo stezanje ravnine na os y, tj. ortogonalnu projekciju ravnine na os y:
        A =
        0
        0
        0
        1

        Browser ne raspoznaje Javu.

        Nul-potprostor matrice A je os x, a slika je os y.

      • Za a = -1 dobiva se zrcaljenje ravnine s obzirom na os y:
        A =
        -1 0
        0
        1

      Browser ne raspoznaje Javu.

    • Slično, za a = 1 slobodnim odabirom koeficijenta d dobivamo homotetiju u smjeru osi y:
      A =
      1 0
      0
      d
      • Za |d| < 1 imamo kontrakciju u smjeru osi y,
      • a za |d| > 1 dilataciju.
      • Za d = 0 dobijemo ortogonalnu projekciju ravnine na os x:
        A =
        1
        0
        0
        0

        Browser ne raspoznaje Javu.

        Nul-potprostor matrice A je os y, a slika je os x.

      • a za d = -1 zrcaljenje s obzirom na os x:
        A =
        1
        0
        0
        -1

      Browser ne raspoznaje Javu.

    • Moguća je i dvostruka homotetija, kada uzimamo b = c = 0, a c i d su slobodni (dijagonalna matrica A = diag (a,d)).
      • Za c = d dobivamo matricu A = cI, a pripadna transformacija je homotetija ravnine s faktorom c (svi vektori lijevog prozora množe se tom konstantom).
      • Za c = d = -1 dobivamo centralnu simetriju:

        A =
        -1
        0
        0
        -1

        Browser ne raspoznaje Javu.

      • Dijagonalnom matricom se svaka kružnica sa središtem u ishodištu preslika u elipsu, takvu da se okomita i vodoravna poluos elipse odnose kao |d|/|a|. Ako je kružnica jedinična, duljine poluosi elipse su točno |d| i |a| (pogledajte transformaciju smješka ili paške čipke). Evo jednog primjera:
        A =
        -2.5
        0
        0
        0.7

        Browser ne raspoznaje Javu.

        Može se pokazati da svaka regularna matrica preslikava kružnicu u elipsu, samo što osi elipse neće uvijek biti paralelne s koordinatnim osima.

  • Zakošenje. Matrica A je trokutasta, s jedinicama na dijagonali. Determinanta je jednaka umnošku dijagonalnih elemenata, tj. 1.
    • Odabiremo c = 0, a = d = 1:
      A =
      1 b
      0
      1

        Browser ne raspoznaje Javu.

      • Za b > 0 dobivamo vodoravno zakošenje prvog kvadranta u desno (kao gore),
      • a za b < 0 zakošenje prvog kvadranta u lijevo:

        Browser ne raspoznaje Javu.

    • Uz odabir koeficijenata b = 0, a = d = 1:
      A =
      1 0
      c
      1
      • za c > 0 dobivamo vertikalno zakošenje prvog kvadranta prema gore:

        Browser ne raspoznaje Javu.

      • a za c < 0 dobivamo vertikalno zakošenje prvog kvadranta prema dolje:

        Browser ne raspoznaje Javu.

  • Ortogonalne matrice su matrice koje čuvaju duljinu vektora. Pokazuje se da onda čuvaju i okomitost vektora. Vektori stupci su im ortonormirani, tj. jedinični i okomiti (vjerovali ili ne, isto vrijedi i za vektore retke!). Postoje samo dvije vrste ortogonalnih matrica reda 2: to su matrica rotacije i matrica zrcaljenja s obzirom na pravac kroz ishodište.
    • Rotacija. Zakret za kut s u pozitivnom smjeru (tj. suprotno od smjera gibanja kazaljke na satu) oko ishodišta dobivamo tako da stavimo a = cos s, b = -sin s, c = sin s, d = cos s.
      A =
      cos s -sin s
      sin s
      cos s
      Ako je A matrica rotacije, onda je det A = 1, jer je

      det A = ad - bc = (cos s)2 + (sin s)2 = 1.

      Rotacija ravnine za 180 stupnjeva oko ishodišta isto je što i centralna simetrija ravnine s obzirom na ishodište.

      • Rotaciji za kut s = 90 stupnjeva odgovara tzv. matrična imaginarna jedinica J, kod koje je a = 0, b = -1, c = 0, d = 1:

        J =
        0 -1
        1
        0

        Browser ne raspoznaje Javu.

        Njezin naziv je jasan, jer vrijedi J2 = - I.

    • Zrcaljenje. Ako želimo zrcaliti ravninu s obzirom na bilo koji pravac kroz ishodište, y = kx, najprije nađemo pripadni kut s = arc tg k, te računamo matrične koeficijente a = cos 2s, b = sin 2s, c = sin 2s, d = -cos 2s:
      A =
      cos 2s
      sin 2s
      sin 2s
      -cos 2s
      Ako je A matrica zrcaljenja, onda je det A = -1, jer je

      det A = ad - bc = -(cos 2s)2 - (sin 2s)2 = -1.

      U programima za vizualizaciju unosi se samo kut s, nakon čega se obavlja zrcaljenje s obzirom na pravac y = (tg s) x.

  • Nekomutativnost množenja matrica lako je ilustrirati na ovom geometrijskom primjeru. Neka je A matrica zakošenja s parametrom b koji nije nula (tako da je Ai = i i Aj = bi + j), i J matrica rotacije za 90 stupnjeva (tako da je Ji = j i Jj = -i). Onda je AJi = Aj = bi + j, ali JAi = Ji = j. Dakle, matrica AJ nije jednaka JA.

  • Svaki kompleksni broj z = x + iy može se poistovjetiti s matricom A kod koje stavljamo a = x, b = -y, c = y, d = x:
    A =
    x -y
    y
    x

    Browser ne raspoznaje Javu.

    tj. A = xI + yJ, gdje je J matrična imaginarna jedinica, J2 = -I. Time smo dobili pridruživanje

    x + iy --> xI + yJ

    iz skupa kompleksnih brojeva C u skup matrica reda dva, M2,2. Jasno je da zbroju dvaju kompleksnih brojeva odgovara zbroj pripadnih matrica. Zanimljivo je da i umnošku dvaju kompleksnih brojeva odgovara umnožak pripadnih matrica. Naime, za kompleksne brojeve vrijedi:

    (x + yi)(u + vi) = (xu - yv) + (xv + yu)i,

    kao i za pripadne matrice:

    (xI + yJ)(uI + vJ) = (xu - yv)I + (xv + yu)J,

    gdje su x, y, u, v zadani realni brojevi, a i je imaginarna jedinica, i2 = -1.
    • Za gore navedenu matricu A = xI + yJ pripadna geometrijska transformacija lijevog prozora sastoji se od kompozicije ovih dviju transformacija:
      • homotetije ravnine s faktorom r = (x2 + y2)1/2, tj. svaki vektor se množi s r;
      • rotacije za kut s = arc tg (y/x).
      Primijetite da je x + iy = r eis (Eulerova formula), x = r cos s, y = r sin s.
      • Ako je r = 1, matrica A = xI + yJ daje samo rotaciju za kut s, tj. x = cos s i y = sin s, i to je u skladu s prethodnom diskusijom o ortogonalnim matricama (vidi rotaciju).

  • Ako zamislimo da početni lik u lijevom prozoru ima osnovicu i visinu duljine 1, onda je pripadni vektor osnovice jednak i, a vektor visine je j. Vektor osnovice početnog lika (x = 1, y = 0) preslika se u vektor ai + cj (jer x' = ax + by = a, y' = cx + dy = c), a vektor visine (x = 0, y = 1) transformira se u bi + dj (jer je tu x' = b, y' = d). Transformirani lik je paralelogram, a njegova površina P' dobiva se računanjem apsolutne vrijednosti vektorskog produkta vektora pripadnih stranica:

    P' = |(ai + cj) x (bi + dj)| =
    = |(ad - bc)k| = |ad - bc| =
    = |det A|.

    Drugim riječima, ako je u lijevom prozoru jedinični kvadrat, on će se transformirati u paralelogram u desnom prozoru, površine točno |det A|.
    • Ako je matrica A gornja trokutasta, tj. c = 0,
      A =
      a
      b
      0
      d
      onda uz pretpostavku da je P jedinični kvadrat vrijedi P' = |det A| = |ad| (determinanta gornje trokutaste matrice je umnožak dijagonalnih elemenata matrice A). Vrijednost površine paralelograma P' ne ovisi o koeficijentu zakošenja b. To je u vezi s time što je površina paralelograma jednaka umnošku osnovice |a| i visine |d|.

  • Površina P početnog lika (u lijevom prozoru) i površina P' transformiranog lika (u desnom prozoru) povezane su ovako:

    P' = |det A| P.

    Ta činjenica je specijalan slučaj formule za zamjenu varijabli u dvostrukom integralu, koja uključuje pojam Jacobijana. Doista, Jacobijan J(f,g) funkcije iz R2 u R2 zadane komponentnim funkcijama

    x' = f(x,y)

    y' = g(x,y)

    za linearnu transformaciju f(x,y) = ax + by i g(x,y) = cx + dy jednak je točno

    J(f,g) = det A.

    Podsjetimo se, Jacobijan se definira pomoću determinante matrice parcijalnih derivacija prvog reda:
    J(f,g) = det
    Dx' f
    Dy' f
    Dx' g
    Dy' g
    Zanimljivo je da formula P' = |det A| P vrijedi i za bilo koji omeđen lik površine P u lijevom prozoru, ne samo za paralelogram. To slijedi odmah iz formule za zamjenu varijabli u dvostrukom integralu.

  • Vektori kanonske baze i i j u lijevom prozoru određuju tzv. desni koordinatni sustav (tu je i poredak vektora i i j bitan; vidi [Elezović], Odjeljak 5.3). Vektori j i i određuju lijevi koordinatni sustav (u tom poretku). Ako je matrica A regularna, onda i preslikani vektori i' = Ai i j' = Aj čine bazu u desnom prozoru, i to:
    • ako je det A > 0, onda vektori i' i j' određuju također desni koordinatni sustav (u tom poretku);
    • ako je det A < 0, onda vektori i' i j' određuju lijevi koordinatni sustav.
    Na slici se to jasno vidi. Ako je det A < 0, lik u desnom prozoru ima promijenjenu orijentaciju u odnosu na lik u lijevom prozoru. Ako je det A > 0, orijentacija lika ostaje ista.

  • Za vektor v kažemo da je vlastiti (svojstveni) vektor kvadratne matrice A ako je različit od nul-vektora i postoji realan (ili kompleksan) broj r takav da je Av = rv. Taj broj r zove se vlastita (svojstvena) vrijednost matrice.
    • Ako postoji netrivijalan vektor v takav da je paralelan s vektorom Av, onda je on vlastiti vektor matrice A, jer to znači da vrijedi Av = rv za neki realan broj r. Taj r je onda upravo pripadna vlastita vrijednost.

    • Pogledajmo kao primjer ovu matricu:

      B =
      -1
      0
      0
      2

      Browser ne raspoznaje Javu.

      Za nju vrijedi Bi = -i i Bj = 2j. Prema tome, vlastite vrijednosti ove matrice su -1 i 2. Vlastiti potprostor za r = -1 je os x, a vlastiti potprostor za r = 2 je os y.

    • Odredite vlastite vrijednosti i pripadne vlastite potprostore najprije "eksperimentalno", a zatim računom (za ovo drugo će vam trebati olovka i papir, a ne miš :) ):

      A =
      -1
      1
      0
      2

      Browser ne raspoznaje Javu.

      Vlastite vrijednosti su -1 i 2, a pripadni vlastiti vektori su i i i + 3j.

    • Odredite eksperimentalnim putem realne vlastite vektore i pripadne vlastite potprostore za sve matrice na ovoj internetskoj stranici (vrlo je lagano).

    • Uvjerite se eksperimentalno da matrica rotacije ravnine za 90 stupnjeva nema realnih vlastitih vrijednosti.
      • Mali račun pokazuje da su njezine svojstvene vrijednosti i = (-1)1/2 i -i. To su, naime, nul-točke karakterističnog polinoma k(r) = r2 + 1. Podsjetimo se, karakteristični polinom matrice A definira se kao k(r) = det (rI - A).

    • Algebarska kratnost vlastite vrijednosti r matrice A definira se kao kratnost nul-točke r karakterističnog polinoma k(r). Geometrijska kratnost vlastite vrijednosti r definira se kao dimenzija pripadnog vlastitog potprostora.
      • U prethodna dva primjera algebarska i geometrijska kratnost obiju vlastitih vrijednosti je 1.
      • Jedine matrice reda 2 kod kojih su geometrijska i algebarska kratnost jednake 2, oblika su A = rI.
      • Matrica zakošenja ima vlastitu vrijednost 1 algebarske kratnosti dva, ali geometrijske kratnosti jedan ako koeficijent zakošenja nije nula. Naime, pripadni vlastiti potprostor je jednodimenzionalan: os x.
    • Za matricu A kažemo da je slična matrici B ako postoji regularna matrica T takva da je

      B = T-1AT.

      • Matrica A slična je nekoj dijagonalnoj matrici B onda i samo onda ako postoji baza sastavljena od vlastitih vektora matrice A. Kažemo da se matrica A može dijagonalizirati (u toj bazi). Matrica prijelaza T dobije se kao matrica prijelaza iz kanonske baze u tu bazu, tj. vektori stupci matrice T su upravo vlastiti vektori matrice A prikazani u kanonskoj bazi. Ako su sve vlastite vrijednosti realne i međusobno različite, onda se matrica može dijagonalizirati.
        • Svaka simetrična matrica slična je dijagonalnoj. Njezine vlastite vrijednosti su realne i postoji ortonormirana baza vlastitih vektora. Prema tome, matrica sličnosti koja dijagonalizira simetričnu matricu može se odabrati da bude ortogonalna matrica (vektori stupci joj čine ortonormiranu bazu). Evo jednog primjera:

          A =
          -1
          1
          1
          0

          Browser ne raspoznaje Javu.

          Kružnica u ravnini sa središtem u ishodištu simetričnom matricom preslikava se uvijek u elipsu. Glavne osi elipse su vlastiti potprostori simetrične matrice (ucrtani zelenom bojom). Omjer duljina poluosi elipse jednak je |r1/r2|, gdje su r1,2 vlastite vrijednosti matrice. Matrica A je slična matrici B = diag (r1, r2). U ovom primjeru je

          r1 = (-1-51/2)/2 = -1.618...,
          r2 = (-1+51/2)/2 = 0.618...,

          a pripadni vlastiti vektori su

          v1 = ((-1-51/2)/2, 1)T,
          v2 = ((-1+51/2)/2, 1)T.

          Vlastiti vektori su okomiti: (v1|v2) = 0. Matrica sličnosti je S = [w1, w2], gdje su vektori stupci w1 i w2 normirani vlastiti vektori od A (prema tome matrica T je ortogonalna, tj. S-1 = ST, vidi [Elezović]):

          w1 = v1 / |v1|, w2 = v2 / |v2|.

          Drugim riječima, S-1AS = diag (r1, r2).

          • Jedinična (plava) kružnica x2 + y2 = 1 preslika se u (kosu, crvenu) elipsu

            x'2 + 2y'2 - 2x'y' = 1.

            Njezina jednadžba u prirodnom (zelenom) koordinatnom sustavu glasi

            (x''/r1)2 + (y''/r2)2 = 1

          Na lijevoj strani je kvadratna forma generirana simetričnom matricom A-2 = [{0, 1}, {0, 1}] * [{0, 1}, {0, 1}] = [{1, 1}, {1,2}]. Doista, uz pretpostavku da je simetrična matrica A regularna, iz v' = Av dobivamo

          1 = (v|v) = (A-1v'|A-1v') = ((A-1)TA-1v'|v') = (A-2v'|v').

          Vlastite vrijednosti matrice A-2 su ri-2, a vlastiti vektori isti kao kod A.

          Pogledajte kao dodatnu ilustraciju

      • Matrica zakošenja nije slična dijagonalnoj (tj. ne može se dijagonalizirati) ako koeficijent zakošenja b nije nula. Doista, algebarska i geometrijska kratnost vlastite vrijednosti 1 za tu se matricu ne podudaraju:
        • algebarska kratnost je dva, jer k(r) = (r-1)2,
        • a geometrijska kratnost iznosi samo jedan (i to se lijepo vidi na slici).

      • Matrice A i B iz dvaju gore navedenih primjera su slične. Vlastiti vektori matrice A su i = 1i + 0j i i + 3j, pa je matrica prijelaza koja dijagonalizira matricu A jednaka

        T =
        1
        1
        0
        3

        tj. T-1AT = B. Matrica A nije simetrična. Primijetite da joj (za razliku od simetričnih matrica) vlastiti vektori koji pripadaju različitim vlastitim vrijednostima nisu međusobno okomiti.


Kratak opis programa:


Literatura

  1. Neven Elezović: Linearna algebra, Element, Zagreb
  2. Andreja Aglić, Neven Elezović: Zbirka zadataka iz linearne algebre, Element, Zagreb
  3. Neven Elezović: Kompleksni brojevi, Element, Zagreb
  4. Svetozar Kurepa: Uvod u linearnu algebru, Školska knjiga, Zagreb
  5. Darko Žubrinić: Linearna algebra, poslijediplomski studij FER-a, (skripta), Element, Zagreb
  6. Linearna algebra na webu