Zadaci za 2. razred - B kategorija

1. Odredite sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva kojima je zbroj kvadrata jednak četveroznamenkastom broju s jednakim znamenkama.
   
   
2. Ako su a, b i c duljine stranica nekog trokuta, dokažite da je funkcija f(x) = b²x² + (b²+c²−a²) x + c² pozitivna za svaki realni x.
   
   
3. Dan je skup parabola y = (k−2) x² − 2kx + k+2, pri čemu je k ≠ 2 realni broj.
   a) Dokažite da tjemena svih tih parabola leže na istom pravcu i odredite njegovu jednadžbu.
   b) Imaju li sve ove parabole zajedničku točku?
   
   
4. Na dijagonalama AC i BD konveksnog četverokuta ABCD izabrane su redom točke M i N tako da je MB || AD i NA || BC.
   Dokažite da je MN || CD.
   
   
5. Dokažite da za pozitivne brojeve a, b, c vrijede nejednakosti:
   a) a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca,
   b) (ab+c²)/(a+b) + (bc+a²)/(b+c) + (ca+b²)/(c+a) ≥ a+b+c.