MATH.E     Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
 
http://e.math.hr/

49. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Krk, 2.-5. svibnja 2007.

Zadaci za 2. razred - B kategorija

  1. Odredite sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva kojima je zbroj kvadrata jednak četveroznamenkastom broju s jednakim znamenkama.

  2. Ako su a, b i c duljine stranica nekog trokuta, dokažite da je funkcija f(x) = b²x² + (b²+c²−a²) x + c² pozitivna za svaki realni x.

  3. Dan je skup parabola y = (k−2) x² − 2kx + k+2, pri čemu je k ≠ 2 realni broj.
    a) Dokažite da tjemena svih tih parabola leže na istom pravcu i odredite njegovu jednadžbu.
    b) Imaju li sve ove parabole zajedničku točku?

  4. Na dijagonalama AC i BD konveksnog četverokuta ABCD izabrane su redom točke M i N tako da je MB || AD i NA || BC.
    Dokažite da je MN || CD.

  5. Dokažite da za pozitivne brojeve a, b, c vrijede nejednakosti:
    a) a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca,
    b) (ab+c²)/(a+b) + (bc+a²)/(b+c) + (ca+b²)/(c+a) ≥ a+b+c.