14. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Omišalj, 4. - 7. svibnja 2005.

Zadaci za IV. razred

1. Niz (a_n) je zadan rekurzivno s a₁ = 1,

   a_n = a₁ ... a_{n -1} + 1,   za n 2.

   Odredite najmanji realni broj M takav da je

   

   za svaki m .

2. Neka je P polinom n-tog stupnja čiji su svi koeficijenti nenegativni, a vodeći i slobodni koeficijent jednaki su 1. Uz pretpostavku da su sve nultočke od P realni brojevi, dokažite da za svaki x 0 vrijedi P(x) (x + 1)ⁿ.

3. Dokažite da postoji točno jedan prirodni broj koji se u dekadskom sustavu zapisuje samo znamenkama 2 i 5, ima 2005 znamenaka i djeljiv je s 2²⁰⁰⁵.

4. Neka je ABCD konveksni četverokut i neka su P i Q redom točke na njegovim stranicama BC i CD takve da je BAP = DAQ. Dokažite da trokuti ABP i ADQ imaju jednake površine ako i samo ako je spojnica njihovih ortocentara okomita na pravac AC.