Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

14. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Omišalj, 4. - 7. svibnja 2005.


Zadaci za IV. razred


  1. Niz (an) je zadan rekurzivno s a1 = 1,

    an = a1 * ... * an -1 + 1,   za n >= 2.

    Odredite najmanji realni broj M takav da je

    sum 1/a_n < M

    za svaki m element N.

  2. Neka je P polinom n-tog stupnja čiji su svi koeficijenti nenegativni, a vodeći i slobodni koeficijent jednaki su 1. Uz pretpostavku da su sve nultočke od P realni brojevi, dokažite da za svaki x >= 0 vrijedi P(x) >= (x + 1)n.

  3. Dokažite da postoji točno jedan prirodni broj koji se u dekadskom sustavu zapisuje samo znamenkama 2 i 5, ima 2005 znamenaka i djeljiv je s 22005.

  4. Neka je ABCD konveksni četverokut i neka su P i Q redom točke na njegovim stranicama BC i CD takve da je kut BAP = kut DAQ. Dokažite da trokuti ABP i ADQ imaju jednake površine ako i samo ako je spojnica njihovih ortocentara okomita na pravac AC.