13. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Trogir, 5. - 8. svibnja 2004.

Zadaci za IV. razred

1. Neka je n prirodan broj i neka su z₁, ... , z_n, w₁, ... , w_n kompleksni brojevi takvi da za svaki izbor brojeva ₁, ... , _n iz skupa {-1, 1} vrijedi

   |₁z₁ + ... + _nz_n| |₁w₁ + ... + _nw_n|.

   Dokažite da je

   |z₁|² + ... + |z_n|² |w₁|² + ... + |w_n|².

2. Unutar trokuta ABC s duljinama stranica a, b, c i odgovarajućim kutovima , , postoje točke P i Q takve da vrijedi

   BPC = CPA = APB = 120^o,
   BQC = 60^o + ,   CQA = 60^o + ,   AQB = 60^o + .

   Dokažite da vrijedi jednakost

   (|AP| + |BP| + |CP|)³ |AQ| |BQ| |CQ| = (abc)².

3. Nizovi realnih brojeva (x_n), (y_n), (z_n), n , definirani su formulama

   x_{n +1} = 2x_n / (x_n² - 1),   y_{n +1} = 2y_n / (y_n² - 1),   z_{n +1} = 2z_n / (z_n² - 1),

   a početni članovi su x₁ = 2, y₁ = 4 i z₁ takav da vrijedi x₁ y₁ z₁ = x₁ + y₁ + z₁.
   a) Provjerite da su za svaki n zadovoljeni uvjeti: x_n² 1, y_n² 1, z_n² 1.
   b) Da li postoji k takav da je x_k + y_k + z_k = 0?

4. Odredite sve realne brojeve sa svojstvom da su svi brojevi u nizu

   

   negativni.