Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

13. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Trogir, 5. - 8. svibnja 2004.


Zadaci za IV. razred


  1. Neka je n prirodan broj i neka su z1, ... , zn, w1, ... , wn kompleksni brojevi takvi da za svaki izbor brojeva e1, ... , en iz skupa {-1, 1} vrijedi

    |e1z1 + ... + enzn| <= |e1w1 + ... + enwn|.

    Dokažite da je

    |z1|2 + ... + |zn|2 <= |w1|2 + ... + |wn|2.

  2. Unutar trokuta ABC s duljinama stranica a, b, c i odgovarajućim kutovima alfa, beta, gama postoje točke P i Q takve da vrijedi

    kut BPC = kut CPA = kut APB = 120o,
    kut BQC = 60o + alfa,   kut CQA = 60o + beta,   kut AQB = 60o + gama.

    Dokažite da vrijedi jednakost

    (|AP| + |BP| + |CP|)3 * |AQ| * |BQ| * |CQ| = (abc)2.

  3. Nizovi realnih brojeva (xn), (yn), (zn), n element N, definirani su formulama

    xn +1 = 2xn / (xn2 - 1),   yn +1 = 2yn / (yn2 - 1),   zn +1 = 2zn / (zn2 - 1),

    a početni članovi su x1 = 2, y1 = 4 i z1 takav da vrijedi x1 y1 z1 = x1 + y1 + z1.
    a) Provjerite da su za svaki n element N zadovoljeni uvjeti: xn2 <> 1, yn2 <> 1, zn2 <> 1.
    b) Da li postoji k element N takav da je xk + yk + zk = 0?

  4. Odredite sve realne brojeve alfa sa svojstvom da su svi brojevi u nizu

    cos(alfa),cos(2*alpha),cos(2^2*alpha),...

    negativni.