Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

5. MEDITERANSKO MATEMATIČKO NATJECANJE

Zagreb, 20. i 21. travnja 2002.

Zadaci


  1. Odredite sve prirodne brojeve x, y takve da

    y | x2+1    i    x2 | y3+1.

  2. Neka su x, y, a realni brojevi takvi da je

    x + y = x3 + y3 = x5 + y5 = a.

    Odredite sve moguće vrijednosti broja a.

  3. Dan je šiljastokutan trokut ABC. Neka su M i N unutarnje točke stranica AC i BC, a K polovište dužine MN. Kružnice opisane trokutima CAN i BCM sijeku se (osim u točki C) u točki D.
    Dokažite da pravac CD prolazi kroz središte O opisane kružnice trokuta ABC ako i samo ako simetrala stranice AB prolazi kroz K.

  4. Ako su a, b, c nenegativni realni brojevi takvi da je a2 + b2 + c2 = 1, dokažite nejednakost

    a / (b2+1) + b / (c2+1) + c / (a2+1)  >=  3/4 (asqrta + bsqrtb + csqrtc)2.