Fibonacci, Tribonacci, ... i četiri konstante
M. Buzov; P.M. Gojun i N. Jakovčević Stor
Sažetak
Fibonaccijevi brojevi popularna su tema, o njima je puno toga napisano (
1Fibonaccijevi brojevi i zlatni rez
Fibonaccijevi brojevi F_{n} definirani su rekurzivnom relacijom
(1)
F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} \text{ za } n\gt 1,
uz početne uvjete F_{0}=0 \text{ i } F_{1}=1. Prvih nekoliko članova Fibonaccijevog niza je
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, \dots
Niz je dobio ime po Leonardu Pisanu Fibonacciju koji je postavio problem razmnožavanja zečeva i time formirao gornji niz.
Fibonaccijev broj F_{n}, odnosno n-ti član Fibonaccijevog niza može se odrediti Binetovom formulom:
F_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \right].
Nadalje, Fibonaccijevi brojevi se mogu generirati računanjem potencija matrice Q = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, tj. vrijedi
Q^{n} = \begin{bmatrix} F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1} \end{bmatrix}, n\geq 1.
Ovo su neke od poznatijih relacija koje zadovoljavaju Fibonaccijevi brojevi:
| (1) | F_{n+m}=F_{m} F_{n+1}+F_{m-1} F_{n} \text{ za sve } m,n\geq 1, |
| (2) | Cassinijev identitet: F_{n+1} F_{n-1}-{F_{n}}^{2}=(-1)^{n}\text{ za } n\geq 2, |
| (3) | Catalanov identitet: F_{n}^{2} - F_{n+r} F_{n-r} = (-1)^{n-r} F_{r}^{2}\text{ za } n\geq r\geq 1, |
| (4) | F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1} za n\geq 0, pa slijedi da niz kvadrata Fibonaccijevih brojeva ima svojstvo da sume dva uzastopna člana redom daju Fibonaccijeve brojeve s neparnim indeksima. |
Limes niza kvocijenta dva susjedna Fibonaccijeva broja je
(2)
\lim \limits_{n \to \infty} \frac{F_{n}}{F_{n-1}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2},
odnosno konstanta naziva zlatni rez. Označavamo ju s
\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}= 1.61803398874\ldots.
Karakterizacija zlatnog reza, prikazana na Slici
Neka su dane dužina \overline{AB} i točka C na dužini takva da je omjer duljine cijele dužine \overline{AB} i duljine duljeg dijela \overline{AC} jednak omjeru duljine dužine \overline{AC} i duljine dužine \overline{BC}. Taj omjer iznosi
\displaystyle \varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Zlatni rez \varphi zadovoljava identitete:
\varphi +1 = \varphi^{2}, \\ \quad \quad \varphi -1 = \varphi^{-1}.
Neki primjeri Fibonaccijevog niza i zlatnog reza u prirodi
| (1) | Broj ženskih pčela podijeljen s brojem muških pčela, u bilo kojoj košnici u bilo kojem trenutku jednak je \varphi. |
| (2) |
Broj latica u cvijetu dosljedno slijedi Fibonaccijev niz. Primjerice, ljiljan koji ima tri latice, ljutići koji imaju pet, cikorija 21, tratinčica 34, i tako dalje (Slika |
| (3) |
Pravokutnik u kojem je omjer stranica a:b jednak zlatnom rezu \varphi, može rezultirati postupkom gniježđenja koji se može ponoviti u beskonačnost - i koji poprima oblik spirale. U prirodi takav oblik imaju na primjer ljuske puževa i nautilus (Slika |
2Tribonaccijevi brojevi i konstanta
Kao što je u Fibonaccijevom nizu svaki član počevši od trećeg po redu suma prethodna dva tako je u Tribonaccijevom nizu (
T_{n+1}=T_{n}+T_{n-1}+T_{n-2} \text{ za } n\gt 1,
gdje je T_{0}=T_{1}=1 i T_{2}=2 pa je prvih nekoliko članova niza:
1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,...
Niz je prvi put formalno opisao Agronomof 1914. godine, ali prvu nenamjernu upotrebu u podrijetlu vrsta dao je Charles R. Darwin. U primjeru koji ilustrira rast populacije slonova, oslanjao se na izračune koje je izvršio njegov sin George H. Darwin. Izraz Tribonacci predložio je Feinberg
T_{n}=\frac{\alpha ^{n+1}}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}+\frac{\beta ^{n+1}}{(\beta -\alpha )(\beta -\gamma )}+\frac{\gamma ^{n+1}}{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )},
gdje su \alpha , \text{ } \beta i \gamma korijeni polnoma x^{3}-x^{2}-x-1. Također vrijedi
(3)
T_{n}=\left[ 3\frac{\left( \frac{1}{3}\left( 19+3\sqrt{33}\right) ^{ \frac{1}{3}}+\frac{1}{3}\left( 19-3\sqrt{33}\right) ^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{3 }\right) ^{n}\left( 586+102\sqrt{33}\right) ^{\frac{1}{3}}}{\left( 586+102 \sqrt{33}\right) ^{\frac{2}{3}}+4-2\left( 586+102\sqrt{33}\right) ^{\frac{1}{ 3}}}\right]
gdje je \left\lbrack \quad \right\rbrack oznaka za funkciju “najbliže cijelo”. Niz kvocijenta susjednih članova Tribonaccijevog niza konvergira, analogno kao što vrijedi i za Fibonaccijev niz (1).
\lim \limits_{n \to \infty}\frac{T_{n+1}}{T_{n}}=\psi,
gdje je
\psi=\frac{1}{3}\left(1+(19+3\sqrt{33})^{\frac{1}{3}}+(19-3\sqrt{33})^{\frac{1}{3}}\right)=1.83929\ldots
konstanta koja se naziva Tribonaccijeva konstanta. Primijetimo da je Tribonaccijeva konstanta dio brojnika formule (3).
3Pellovi brojevi i srebreni rez
Pellovi brojevi P_{n} i Pell Lucasovi brojevi Q_{n} (
P_{n} = 2P_{n-1} + P_{n-2} \text{ za } n\gt 1 ,
Q_{n} =2Q_{n-1} + Q_{n-2} \text{ za } n\gt 1,
uz početne uvjete P_{0}=0 i P_{1} =1 za Pellove brojeve, odnosno Q_{0}=Q_{1}=2 za Pell Lucasove brojeve. Prvih nekoliko Pellovih brojeva je
0, 1, 2, 5, 12, 29,70,169,408,985, \dots,
a Pell Lucasovih
2 ,2, 6, 14,34 , 82, 198, 478,1154, \dots
Pellovi i Pell Lucasovi brojevi povezani su relacijom
Q_{n}=\frac{P_{2n}}{P_{n}}.
Nadalje, ovi brojevi dani su eksplicitno formulama
\displaystyle P_{n} = \frac{(1+\sqrt{2})^{n} - (1-\sqrt{2})^{n} }{2\sqrt{2}},
Q_{n} = (1-\sqrt{2})^{n} + (1+\sqrt{2})^{n}.
Q_{n} = (1-\sqrt{2})^{n} + (1+\sqrt{2})^{n}.
Pellovi brojevi se mogu generirati potenciranjem matrice M = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, tj. vrijedi
M^{n} = \begin{bmatrix} P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1} \end{bmatrix}, n\geq 1.
Također, neka je F= \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} tada je (prema
FM^{n} = \begin{bmatrix} Q_{n+1}&Q_{n}\\Q_{n}&Q_{n-1} \end{bmatrix}.
Vrijedi:
| (1) | P_{n+1} P_{n-1} - P_{n}^{2} = (-1)^{n}, analogon Cassinijevog identiteta za Fibonaccijeve brojeve, |
| (2) | P_{m+n} = P_{m} P_{n+1} + P_{m-1} P_{n}, |
| (3) | P_{m+n} = 2 P_{m} Q_{n} - (-1)^{n} P_{m-n}, |
| (4) | Q_{n}^{2} = 4 \big( 2 P_{n}^{2} + (-1)^{n} \big), |
| (5) | Q_{2n} = Q_{n}^{2} - 2 (-1)^{n}. |
| (6) |
Uređena trojka
(2P_{n} P_{n + 1},\, P_{n + 1} ^{2} -P_{n} ^{2}, \,P_{2n + 1})
čini Pitagorinu trojku. Prvih nekoliko takvih trojki je
(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985),…
|
Slično kao što je zlatni rez limes kvocijenta susjednih Fibonaccijevih brojeva, srebreni rez S je limes kvocijenta susjednih Pellovih brojeva, tj. vrijedi
\lim \limits_{n \to \infty} \frac{P_{n}}{P_{n-1}}= 1 + \sqrt{2}=S.
Kažemo da su dvije veličine a i b, a\geq b, u omjeru srebrenog reza (Slika
S = \frac{a}{b} = \frac{2a + b}{a}.
Uvođenjem supstitucije \displaystyle x=\frac{a}{b} dobiva se kvadratna jednadžba x^{2} - 2x -1=0, a jedno od njenih rješenja je S= 1 + \sqrt{2}.
Slika 4: Stranice pravokutnika su u omjeru srebrenog reza. Nadalje, ovaj prvokutnik se može podijeliti na dva kvadrata i pravokutnik čije stranice su također u omjeru srebrenog reza, [11] .
4Padovanovi brojevi i plastična konstanta
Padovanovi brojevi D_{n} (
D_{n} = D_{n-2} + D_{n-3} \text{ za } n\gt 2 ,
uz početne uvjete D_{0}=D_{1}=D_{2}=1. Prvih nekoliko brojeva Padovanovog niza je
1, 1,1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12,16, \dots
Na Slici
Padovanovi brojevi mogu se generirati pomoću matrice
A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
računanjem njenih pozitivnih potencija, tj. vrijedi
A^{n} = \begin{bmatrix} D_{n-5}&D_{n-3}&D_{n-4}\\D_{n-4}&D_{n-2}&D_{n-3}\\D_{n-3}&D_{n-1}&D_{n-2} \end{bmatrix}.
Analogno zlatnom rezu kod Fibonaccijevih brojeva, plastična konstanta P je limes kvocijenta susjednih Padovanovih brojeva, tj. vrijedi
\lim \limits_{n \to \infty} \frac{D_{n}}{D_{n-1}}=P,
gdje je
P=\sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{69}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{69}}{18}} =1.32471795 \ldots
Plastična kontanta P
P -1 = P^{-4}, \\ \quad \quad P +1 = P^{3}.
Plastična konstanta P i zlatni rez \varphi su jedini brojevi x za koje postoje prirodni brojevi k i l takvi da vrijedi x+ 1 = x^{k} i x - 1=x^{-l}, tj. oni su takozvani morfni brojevi.
5Pisotovi brojevi
Pisotov broj
Primjer 1. Zlatni rez \varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618\ldots je PV broj. Korijen je minimalnog polinoma x^{2} - x -1, a norma njegovog konjugata, \overline{\varphi} =\frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618\ldots, je manja od 1.
Primjer 2. Tribonaccijeva konstanta \psi=1.83929... korijen je kubne jednadžbe x^{3}-x^{2}-x-1=0, a norma njenih konjuganata je približno jednaka 0.737\ldots.
Primjer 3. Srebreni rez S= 1 + \sqrt{2} je PV broj. Korijen je kvadratne jednadžbe x^{2} - 2x -1=0, a norma njegovog konjugata, \overline{\psi} =1-\sqrt{2} \approx -0.414\ldots, je manja od 1.
Primjer 4. Najmanji Pisotov broj dan je pozitivnim korijenom jednadžbe x^{3}-x-1=0, i poznat je kao plastična konstanta P, a norma njenih konjuganata je približno jednaka 0.868\ldots.
Dakle, sve četiri konstante su Pisotovi brojevi, a za njih vrijedi još:
| (1) |
Potencije Pisotovih brojeva se približavaju cijelim brojevima. U Tablici |
| (2) | Ako je \alpha PV broj, onda su \alpha^{n}, n\in \mathbb{N} PV brojevi. |
6Što još zajedničko imaju ove četiri konstante?
| (1) |
Sve se mogu prikazati kao beskonačna ugnježđenja
|
||||||||
| (2) |
Zadovoljavaju slične algebarske izraze
\varphi+\frac{1}{\varphi^{2}}=2
\psi+\frac{1}{\psi^{3}}=2.
\frac{1}{\varphi}+1=\varphi
\frac{1}{P}+1=P^{2}
(1-u)^{3}=(2u)^{2} \text{ gdje je } u=\frac{\psi-1}{\psi+1}
(1-v)^{3}=(v)^{2} \text{ gdje je } u=\frac{1}{P+1}
|
||||||||
| (3) |
Sve četiri konstante se mogu izraziti u terminima Dedekind eta funkcije (više o tome u |
Bibliografija
| [1] | http://www.britannica.com/eb/article-9034168/Fibonacci-numbers (pristupljeno lipanj, 2021.) |
| [2] | A. Dasdemir, On the Pell, Pell-Lucas and Modified Pell Numbers By Matrix Method, Appl. Math. Sci., 5(64), 3173 - 3181, (2011) |
| [3] | A. Dujella, Fibonaccijevi brojevi, Zagreb, (1999) |
| [4] | M. Feinberg, Fibonacci-Tribonacci, Fibonacci Quarterly 1, 71–74, (1963) |
| [5] | https://www.nationalgeographic.org/media/golden-ratio/(pristupljeno prosinac, 2021.) |
| [6] | https://gizmodo.com/15-uncanny-examples-of-the-golden-ratio-in-nature-59... (pristupljeno lipanj, 2021.) |
| [7] | A. F. Horadam and J. M. Mahon, Pell and Pell-Lucas Polynomials Fi- bonacci Quart., 23(1), 7-20, (1985). |
| [8] | B. Kovačić, L. Marohnić and R. Opačić, O Padovanovu nizu, Osječki matematički list 13, 1-19, (2013). |
| [9] | https://http://www.fibonaccilifechart.com/blog/truth-and-myth-in-the-gol... (pristupljeno prosinac, 2021.) |
| [10] | https://www.johndcook.com/blog/2017/03/26/plastic-powers/(pristupljeno prosinac, 2021.) |
| [11] | https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/meet-the-metallic-me... (pristupljeno prosinac, 2021.) |
| [12] | https://sites.google.com/site/tpiezas/0012 (pristupljeno lipanj, 2021.) |
| [13] | https://en.wikipedia.org/wiki/Pell-number (pristupljeno rujan, 2021.) |
| [14] | https://en.wikipedia.org/wiki/Generalizations-of-Fibonacci-numbers (pristupljeno lipanj, 2021.) |
| [15] | https://mathworld.wolfram.com/PadovanSequence.html (pristupljeno rujan, 2021.) |
| [16] | https://mathworld.wolfram.com/PellNumber.html (pristupljeno rujan, 2021.) |
| [17] | https://mathworld.wolfram.com/PisotNumber.html (pristupljeno listopad, 2021.) |
| [18] | https://mathworld.wolfram.com/PlasticConstant.html (pristupljeno rujan, 2021.) |
| [19] |
https://mathworld.wolfram.com/TribonacciNumber.html (pristupljeno lipanj, 2021.) |
