12. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Pula, 7. - 10. svibnja 2003.

Zadaci za VII. razred

1. Jedne je godine na državnim natjecanjima za učenike osnovnih škola sudjelovalo 86 učenika na matematičkom natjecanju, 40 učenika na natjecanju iz fizike, te 36 učenika na informatičkom natjecanju. Pri tome su neki učenici sudjelovali samo na jednom od tri navedena natjecanja, neki na točno dva, a neki na sva tri državna natjecanja. Broj učenika koji su sudjelovali na točno dva natjecanja bio je dva puta manji od broja učenika koji su sudjelovali samo na jednom natjecanju, a broj učenika koji su sudjelovali na sva tri natjecanja tri puta je manji od broja učenika koji su sudjelovali samo na jednom natjecanju.
   Koliko je učenika sudjelovalo na samo jednom natjecanju, koliko na dva, a koliko na sva tri natjecanja?

2. Dan je trokut ABC u kojemu je BAC = 70^o. Na stranici AB odabrana je točka D, a na stranici AC točka E, tako da je BDC = BEC i EBC : DCB = 1 : 3. Pravci BE i CD sijeku se u točki M, pri čemu je BMD = 84^o. Koliki su kutovi trokuta ABC i trokuta ADC?

3. Na brojevnom pravcu istaknute su točke A i B s koordinatama A(-2) i B(15). Odredi koordinatu točke M na tom pravcu, ako je |AM| : |MB| = 3 : 14.

4. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je barem jedna znamenka jednaka 5 i barem jedna znamenka jednaka 1?

5. Dan je konveksni četverokut ABCD i paralelogram DBCM. Dokaži da je površina trokuta ACM jednaka površini četverokuta ABCD.