Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

Rješenje 1. zadatka u 4. broju

Pretpostavimo da su p, q i n duljine stranica pravokutnog trokuta, p duljina hipotenuze, q duljina jedne katete, p i q prosti brojevi Sophie Germain, i n prirodan broj. Imamo:

q2 = p2 - n2 = (p - n)(p + n).

Kako je q prost broj, jasno vrijedi p - n = 1, p + n = q2, a odavde je p = (q2 + 1) / 2. Sada, kako je p prost broj Sophie Germain, to je i broj 2p + 1 = q2 + 2 prost.

Neka je q = 3. Tada je p = 5 i n = 4, p i q doista jesu prosti brojevi Sophie Germain, pa Pitagorina trojka (3,4,5) zadovoljava sve uvjete zadatka. Tvrdimo da je ona jedina takva Pitagorina trojka.

Zaista, neka je q <> 3. Tada je q kongruentno 1 ili -1 po modulu 3. U svakom slučaju, q2 je kongruentno 1 po modulu 3, pa je broj q2 + 2 djeljiv s 3 i samim tim složen (jer q ne može biti 1). Zato p ne može biti prost broj Sophie Germain.

Dakle, (3,4,5) je jedino rješenje.


Dino Sejdinović, student 2. godine, Odsjek za matematiku, Prirodno-matematički fakultet, Sarajevo