Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://www.math.hr/~mathe/

Galerija fraktala

Vlatka Antončić, Andro Galinović

Sadržaj:

Uvod
Juliaov skup
Mandelbrotov skup
Cantorova prašina i gredice
Igra kaosa
Pitagorino stablo
Kochova krivulja i pahuljica
Sierpinskijev trokut
Program i rad s programom
Implementacija programa
Literatura

Uvod

U sklopu kolegija "Uvod u matematičku teoriju kaosa za inženjere" prof.dr.sc.Mervana Pašića napravljen je program "Galerija ULTIMATE". Program na interaktivan način generira više različitih vrsta fraktala u ravnini, kao što su Mandelbrotov i Juliaov skup, Sierpinskijev trokut, Kochova pahuljica, Pitagorino stablo...
Program interaktivno (korak po korak) prikazuje nastanak Sierpinskijevog trokuta, Kochove pahuljice, Pitagorinog stabla, Cantorovih gredica te ostalih fraktala. Također, program omogućuje spremanje slika fraktala u različitim formatima (npr. gif, jpg, png).
Sve slike u ovom dokumentu generirane su pomoću gore navedenog programa.
Program i pomoć za korištenje programa mogu se pronaći ovdje.

Galerija ULTIMATE

Pojam fraktala uveo je Benoit Mandelbrot 1970. godine. Fraktal ima svojstvo da svaki njegov dio sadrži istu strukturu kao i cijeli objekt, tj. uvećana slika dijela fraktala između bilo koje dvije točke bit će identična izgledu samog fraktala.


Juliaov skup

Neka je C skup kompleksnih brojeva. Za zadanu funkciju  f : C --> C ,  f n  označava n-terostruku kompoziciju (f o f o ... o f). Za z C gledamo niz kompleksnih brojeva z1 = f(z0),  z2 = f 2(z0) = f(z1),  z3 = f 3(z0) = f(z2), ... . Taj niz zovemo orbita nelinearnog procesa . Skup zovemo "odbojni skup" (engl. espace set) danog procesa. To je skup svih onih početnih z0 kojima su orbite neograničene. Granica ovog skupa zove se "Juliaov skup" danog procesa. Naziv je dobila u čast francuskog matematičara Gastona Julia (čitaj Žuliá).

Za kvadratni proces pripadni Juliaov skup za svaki konkretni dani kompleksni broj c obilježavamo s Jc, dok odbojni skup obilježavamo s Ec.

Naprimjer, izračunajmo neke točke iz odbojnog skupa Ec i njegovog komplementa za c = -0.5 + 0.5i


    
 Orbita1 Orbita 2
 Orbita 3

x
 y
 x
 y
 x
 y
z0
 0.000
 0.000
 0.500
 -0.250
 -0.250
 -0.500
z1 -0.500 0.500 -0.313
 0.250
 -0.688
 0.250
z2 -0.500 0.000
 -0.465
 0.344
 -0.090
 0.156
z3 -0.250
 -0.500 -0.402
 0.180
 -0.516
 0.472
z4 -0.688
 0.250 -0.371
 0.355
 -0.456
 0.013
z5 -0.090 0.156 -0.488 0.237 -0.292 0.488
z100 -0.473
 0.291
 -0.393
 0.290
 -0.438
 0.217
z200 -0.349
 0.279
 -0.411
 0.271
 -0.409
 0.290
z300 -0.411 0.273
 -0.409
 0.276
 -0.407
 0.272
z400 -0.408 0.276 -0.409 0.275 -0.409 0.276
z500 -0.409 0.275 -0.409 0.275 -0.409 0.275

Slika 1. Točke iz komplementa odbojnog skupa za c = -0.5 + 0.5i

Slika 2. Juliaov skup za
c=-0.5+0.5i
Slika 3. Juliaov skup za
c=-1		 Slika 4. Juliaov skup za
c=-0.049733-0.667582i 		Slika 5. Juliaov skup za
c=-0.555468+0.494062i


Mandelbrotov skup

 Mandelbrotov skup M, po definiciji, sadrži sve kompleksne brojeve c za koje je pripadni Juliaov skup Jc kvadratnog procesa povezan, odnosno: M = { c C : Jc je povezan }.
Slika 6.
Mandelbrotov skup


Može se dokazati da je skup Jc povezan ako i samo ako je orbita početne točke z0 = 0 omeđena, odnosno ne teži u beskonačnost, tj. je omeđen niz.

Slika 7. Povezani Juliaov skup Slika 8. Nepovezani
Juliaov skup


Slika 9. Slika 10.

Slika 11. Slika 12.
Slika 9-12. Mandelbrotov skup


Cantorova prašina i gredice


Slika 13. Cantorova prašina – konstrukcija


Neka je F Cantorov skup konstruiran kao presjek zatvorenih skupova E0, E1, E2 , ... . Skup E0  je interval [0, 1].  E1 se dobiva iz E0 uklanjanjem srednje trećine (otvoreni skup (1/3, 2/3)), E2  se dobiva iz E1  uklanjanjem srednjih trećina (otvorenih skupova (1/9, 2/9) i (7/9, 8/9)) ... .
F sadrži beskonačan niz "unutrašnjih rubnih točkaka" od intervala dobivenih u svakom koraku, odnosno .
Cantorov skup je neprebrojiv, odnosno ne postoji način numeracije svih točaka od F.  Preciznije vrijedi:

Skup F sadrži sve one brojeve iz intervala [0, 1] koji u trijadskom zapisu nemaju znamenku 1, odnosno:

Ovaj važan skup uveo je njemački matematičar Georg Cantor.


Slika 14. Cantorova prašina (gredice)


Za fraktalne skupove moguće je definirati njihove fraktalne dimenzije na nekoliko načina. Pokazuje se da je fraktalna dimenzija Cantorova skupa strogo manja od 1 i to točno jednaka log 2 / log 3 = 0.6309... .

Evo još nekoliko primjera fraktala:


Igra kaosa

Primjer:

Neka je zadan trokut ABC. Slučajno biramo početnu točku x0 iz unutrašnjosti trokuta. Nasumično odaberemo jedan od vrhova trokuta ABC s oznakom random(ABC) te izaberemo još jednu točku unutar trokuta koja je na pola puta između x0 i random(ABC)... i tako dalje : xn+1 = (xn + random(ABC))/2.

Slika 15. Igra kaosa – početak



500 točaka 1000 točaka 1500 točaka

Slika 16. Igra kaosa - međurezultati

Na sličan način možemo dobiti i razne druge oblike kao npr. grančicu.
500 točaka 1000 točaka 4000 točaka krajnji rezultat

Slika17. Igra kaosa – nastanak grančice


Pitagorino stablo


 
1 iteracija
 2 iteracija
 3 iteracija
Slika 18. Pitagorino stablo - nastanak (gornji kut 90o,  lijevi kut 45o)
Slika 19. Pitagorino stablo  - konačan rezultat
 Slika 20. Pitagorino drvo (gornji kut 120o, lijevi kut 30o )




 
Slika 21. Pitagorino stablo (brokula)
(gornji kut 90o, lijevi kut 30o )
 Slika 22. Pitagorino stablo (brokula)
(gornji kut 120o, lijevi kut 40o )


Kochova krivulja i pahuljica




Slika 23. Kochova krivulja – nastanak Slika 24. Kochova pahuljica – nastanak

Kochovu krivulju uveo je švedski matematičar Helge von Koch.
Fraktalna dimenzija Kochove krivulje je log 4 / log 3 = 1.2618... .


Slika 25. Zvjezdica Slika 26. Vlak u snijegu


Sierpinskijev trokut

Sierpinskijev trokut uveo je poljski matematičar Waclaw Sierpinski.
Fraktalna dimenzija Sierpinskijevog trokuta iznosi log 3 / log 2 = 1.584962... .

Slika 27. Sierpinskijev trokut – konstrukcija otkidanjem trokuta


Slika 28. Sierpinskijev trokut – konstrukcija krivuljama
Slika 29. Sierpinskijev trokut – konstrukcija krivuljama



Program i rad s programom

Program Galerija ULTIMATE (300KB) je pisan u programskom jeziku C# za čiji je rad potreban .NET framework koji se može naći na CD-ovima nekih informatičkih časopisa (npr. mrež@, BUG, VIDI, ... ) ili s adrese http://msdn.microsoft.com/netframework/technologyinfo/howtoget/default.aspx, treba "skinuti" "Microsoft .NET Framework 1.1 Redistributable".

Napomena:
Ako koristite MS Internet Explorer , za "skidanje" galerije kliknite desnu tipku miša te odaberite "Save target as...".

Rad s Mandelbrotovim i Juliaovim skupovima



Rad sa ostalim fraktalima


Implementacija programa

Kao što je gore navedeno, program je pisan u programskom jeziku C# u MS Visual Studio .NET okruženju. Program se sastoji od niza razreda od kojih svaki sadrži implementaciju jednog ili jedne skupine algoritama za prikaz fraktala u ravnini. Klikom na sličicu fraktala na osnovnoj formi (strogo uređen prozor) stvara se (instancira) novi primjerak objekta dotičnog razreda zaduženog za prikaz željenog fraktala. Ovo svojstvo omogućava "otvaranje" više primjeraka istog prozora. Svi prozori omogućavaju skoro po volji skaliranje. Velik prozor će možda povećati užitak gledanja fraktala, ali će ujedno usporiti njihovo iscrtavanje.

Mandelbrotov i Juliaov skup

Mandelbrotov i Juliaov skup se iscrtavaju tako da se svaka točka zaslona (dijela zaslona namijenjenog za prikaz slike fraktala) preslika u kompleksnu ravninu u kojoj je definiran gore naveden kvadratni proces, te numerički ispituje "brzina konvergencije" niza kompleksnih brojeva  z0, z1, z2, ... . Ovisno o brzini konvergencije određuje se boja točke na zaslonu.  
Za detaljnije upute o implementaciji pogledajte : http://www.zemris.fer.hr/predmeti/rg/labosi/vj9.htm.

Igra kaosa

U razredu koji implementira prikaze fraktala zasnovanih na igri kaosa postoje mnogi, u osnovi vrlo slični, algoritmi. Neki su vrlo jednostavni i u ideji se ne razlikuju mnogo od gore navedenog algoritma za iscrtavanje Sierpinskijevog trokuta. Dodatno objašnjenje dotičnog algoritma se može naći na : http://www.jcu.edu/math/vignettes/ChaosGame.htm.
Velika većina ostalih algoritama se bazira na IFS (engl. iterated function sheme) jednadžbama:
xn+1 = a xn + b yn + e
yn+1 = c xn + d yn + f.

Pitagorino stablo i Cantorova prašina

Implementacija prikaza Pitagorinog stabla i Cantorove prašine (gredica) vrlo je jednostavna i svodi se na kratke rekurzivne algoritme. Jedina opaska je da korisnik može pretjerati s dubinom (tj. brojem iteracija) i time vrlo znatno usporiti iscrtavanje dotičnog fraktala. Kako veličine iscrtavanih linija konvergiraju prema nuli, tako će se kod većeg broja iteracija dogoditi da računalo izračunava pozicije i veličine linija koje se u opće ne mogu prikazati, tj. zbog konačne razlučivosti zaslona i ljudske nemogućnosti raspoznavanja vrlo sitnih objekata, sve sljedeće iscrtane linije nakon neke iteracije neće pridonijeti nikakvom poboljšanju slike. Problem se vrlo lagano riješava. Nakon određene prekidne (engl. cut-off) veličine, sve daljnje iteracije u dotičnom smjeru su obustavljene.  Autori su se ugodno iznenadili velikom ubrzanju iscrtavanja nakon primjene navedenog pravila.

Krivulje

Prikaz fraktala zasnovanih na krivuljama je u osnovi najjednostavnijii najlakše se improvizacijom stvaraju novi fraktali. Svi algoritmi su rekurzivne prirode kao i kod Pitagorinog stabla i Cantorove prašine, te vrijede iste opaske. Algoritmi se svode na višestruko prelamanje početne krivulje (dužine) pod nekim kutovima, te onda nastavak prelamanja na već prelomljene dijelove.

Za daljna objašnjenja možete pogledati http://www.jcu.edu/math/vignettes/koch.htm.

Sierpinskijev trokut i ostali fraktali

Prikazi zadnje veće skupine fraktala zasnivaju se na jednostavnim linearnim transformacijama kao što su: pomak, skaliranje, rotacija i smik. Rekurzivnom primjenom istog pravila iz koraka u korak mogu se dobiti vrlo zanimljivi fraktali.
Osim već navedene skupine u ovom razredu su implementirana još dva algoritma. Jedan je vrlo specifičan algoritam koji se temelji na Pascalovom trokutu, dok je drugi (Brod) ekvivalentan algoritmu iscrtavanja Mandelbrotovog i Juliaovog skupa, samo za drugačiji nelinearni proces z = ( |x| + i*|y| )2 + c.

Literatura

Literatura je nastavni materijal kolegija "Uvod u matematičku teoriju kaosa za inženjere" prof.dr.sc.Mervana Pašića.


Zanimljivi linkovi

1.  "The Dynamical Systems and Technology Project at Boston University",   http://math.bu.edu/DYSYS
2.  "Iterations and the Mandelbrot Set",   http://www.cut-the-knot.org/blue/Mandel.shtml

Uvod
Juliaov skup
Mandelbrotov skup
Cantorova prašina i gredice
Igra kaosa
Pitagorino stablo
Kochova krivulja i pahuljica
Sierpinskijev trokut
Program i rad s programom
Implementacija programa
Literatura