Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://www.math.hr/~mathe/

Benfordov zakon

Bojan Radman

Sadržaj:

Uvod
Povijest Benfordovog zakona
Primjeri Benfordovog zakona
Izvod Benfordovog zakona
Zaključak
Literatura

Uvod

Promatrajući neku stranicu telefonskog imenika, što mislite koja će se znamenka pojavljivati najčešće kao prva u telefonskim brojevima na toj stranici? Ograničimo se još na to da promatramo samo prvu značajnu znamenku u broju (tj., prvu znamenku različitu od nule). Vrlo vjerojatno očekujete da će se otprilike jednak broj puta na prvom mjestu pojaviti znamenke 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, tj. da je vjerojatnost pojavljivanja bilo koje od ovih 9 znamenaka na prvom mjestu jednaka i iznosi oko 0.111, tj. 11.1%. Međutim, to nije istina! Ako imate strpljenja prebrojiti te znamenke, otkrit ćete nešto pomalo iznenađujuće. Broj 1 pojavljuje se mnogo češće kao prva značajna znamenka od ostalih. Ovo je primijetio i Benford prije više od 60 godina. Svi znamo da se naš brojevni sustav koristi znamenkama od 0 do 9 i da je vjerojatnost slučajno odabrane prve značajne znamenke u broju 1/9 (ovdje opet izbacujemo nulu jer ona ne može biti prva značajna znamenka u broju). Ovo vrijedi za podatke generirane Random funkcijom ili neke lažne izmišljene podatke. Kod podataka koji se pojavljuju prirodno, ovo ne vrijedi: za njih vrijedi tzv. BENFORDOV ZAKON. Tako se brojevi od 1 do 9 pojavljuju u prosjeku kao prve značajne znamenke ovako:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

30.1%

17.6%

12.5%

9.7%

7.9%

6.7%

5.8%

5.1%

4.6%

Povijest Benfordovog zakona

Ovu zanimljivu činjenicu otkrio je 1881. god. američki astronom Simon Newcomb. U to vrijeme džepni kalkulator nije postojao ni u najluđim snovima. Računanje se provodilo samo uz pomoć papira i olovke. Knjige sa stranicama i stranicama logaritamskih tablica upotrebljavale su se za složene račune. Newcomb je primijetio da su stranice logaritamskih tablica koje počinju s 1 puno istrošenije i češće upotrebljavane nego druge. Poslije analiziranja više skupina podataka koji se pojavljuju u prirodi, Newcomb je došao do teze koja je kasnije prozvana Benfordovim zakonom. Newcomba su, na žalost, u njegovo vrijeme ignorirali.

Godine 1938. fizičar Frank Benford uočio je isto što i Newcomb. Međutim, on je proučavao mnogo veće skupine podataka nego Newcomb (čak 20.229 skupina različitih podataka).

Benford je proučavao brojevne podatke iz najrazličitijih izvora: površine jezera, duljine rijeka, brojnost populacija, atomske težine, statistike o baseballu, brojeve u telefonskom imeniku. I za sve podatke uočio je da se najčešće kao prva znamenka pojavljuje broj 1, zatim broj 2 i tako dalje. Za razliku od Newcomba, Benfordov rad bio je priznat i po njemu se odnosi koje je odredio zovu Benfordovim zakonom.

Sljedeća tablica pokazuje relativne frekvencije prvih znamenaka u različitim skupinama podataka, a Benford ju je objavio 1938. godine u svom originalnom radu.

 

 

Prva znamenka

 

Stu.

Naziv

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Uzorak

A

Rijeke, površina

31.0

16.4

10.7

11.3

7.2

8.6

5.5

4.2

5.1

335

B

Stanovništvo

33.9

20.4

14.2

8.1

7.2

6.2

4.1

3.7

2.2

3259

C

Konstante

41.3

14.4

4.8

8.6

10.6

5.8

1.0

2.9

10.6

104

D

Novine

30.0

18.0

12.0

10.0

8.0

6.0

6.0

5.0

5.0

100

E

Specifična toplina

24.0

18.4

16.2

14.6

10.6

4.1

3.2

4.8

4.1

1389

F

Tlak

29.6

18.3

12.8

9.8

8.3

6.4

5.7

4.4

4.7

703

G

H. P. gubitak

30.0

18.4

11.9

10.8

8.1

7.0

5.1

5.1

3.6

690

H

Molekularna težina

26.7

25.2

15.4

10.8

6.7

5.1

4.1

2.8

3.2

1800

I

Isušivanje

27.1

23.9

13.8

12.6

8.2

5.0

5.0

2.5

1.9

159

J

Atomska težina

47.2

18.7

5.5

4.4

6.6

4.4

3.3

4.4

5.5

91

K

n -1, korijenn

25.7

20.3

9.7

6.8

6.6

6.8

7.2

8.0

8.9

5000

L

Dizajn

26.8

14.8

14.3

7.5

8.3

8.4

7.0

7.3

5.6

560

M

Reader's Digest

33.4

18.5

12.4

7.5

7.1

6.5

5.5

4.9

4.2

308

N

Cijene

32.4

18.8

10.1

10.1

9.8

5.5

4.7

5.5

3.1

741

O

Rendgenska voltaža

27.9

17.5

14.4

9.0

8.1

7.4

5.1

5.8

4.8

707

P

Statistika u baseballu

32.7

17.6

12.6

9.8

7.4

6.4

4.9

5.6

3.0

1458

Q

Vodljivost

31.0

17.3

14.1

8.7

6.6

7.0

5.2

4.7

5.4

1165

R

Adrese

28.9

19.2

12.6

8.8

8.5

6.4

5.6

5.0

5.0

342

S

n1, n2, ..., n!

25.3

16.0

12.0

10.0

8.5

8.8

6.8

7.1

5.5

900

T

Stopa smrtnosti

27.0

18.6

15.7

9.4

6.7

6.5

7.2

4.8

4.1

418

 

Prosjek

30.6

18.5

12.4

9.4

8.0

6.4

5.1

4.9

4.7

1011

 

Vjerojatna pogreška

± 0.8

± 0.4

± 0.4

± 0.3

± 0.2

± 0.2

± 0.2

± 0.3

 

 

Kako bismo lakše pratili rezultate istraživanja, uvest ćemo neke pojmove iz statistike.

Podatke s kojima radimo i kojima se koristimo u istraživanju nazivamo uzorcima. Broj koji govori koliko se puta neki element pojavio u uzorku nazivamo frekvencijom. Nas će, međutim, zanimati zapravo relativna frekvencija, a to je omjer frekvencije i veličine uzorka.

Na primjer, ako promatramo površine 200 jezera (uzorak) i među njima ustanovimo da 62 jezera (frekvencija) imaju znamenku 1 kao početnu znamenku, tada je relativna frekvencija pojavljivanja znamenke 1 u površinama jezera kao početne znamenke 62 : 200 = 0.31, tj. 31%.

Primjeri Benfordovog zakona

Uzmimo neki grad u Hrvatskoj koji ima 10 000 stanovnika i pretpostavimo da mu se broj stanovnika poveća godišnje za 2%. Za 36 godina broj stanovnika tog grada doseći će broj od 20 000, tj. 36 godina početna znamenka broja stanovnika tog grada bit će 1. Sljedeća promjena početne znamenke u broju stanovnika dogodit će se za 20 godina, kada će grad imati 30 000 stanovnika, tj. početna znamenka sada će biti 3.

U narednih 15 godina broj stanovnika povećat će se do 40 000 itd. U tablici vidimo nadalje koliko će godina grad imati pojedinu početnu znamenku.

Početna znamenka

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Broj godina

36

20

15

11

9

8

7

5

6

Vidimo da se relativne frekvencije pojavljivanja znamenke 1 kao početne znamenke u broju stanovnika ponašaju prema Benfordovom zakonu.

Sada pogledajmo nalazimo li u matematici negdje relativne frekvencije početnih znamenki kao u Benfordovom zakonu. Zanimljivo je, npr., pitanje koja je vjerojatnost da početna znamenka Fibonaccijevog broja bude 1? Ili da bude npr. 5? Ako ste u nedoumici vrijedi li Benfordov zakon za Fibonaccijeve brojeve ili ne, pogledajmo tablicu za prvih 100 Fibonaccijevih brojeva i njihove početne znamenke.

Početna znamenka

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Frekvencija

30

18

13

9

8

6

5

7

4

Njihova relativna frekvencija odgovara Benfordovom zakonu. Ako vas to nije uvjerilo, pogledajte prvih 1000 ili 10000 Fibonaccijevih brojeva. U ovom trenutku možda ste došli u iskušenje da promijenite taktiku u ispunjavanju listića lota, te da umjesto znamenki iz rođendana iskoristite Benfordov zakon. Nažalost, to neće upaliti: ishod lutrije stvarno je slučajan, što znači da svaki broj u lutriji ima jednaku vjerojatnost pojavljivanja.

Pogledajmo sad vremena trkača na 400 m - ne počinju mnoga od njih s 1. Pogledajmo godine poznatih političara u svijetu i kod nas - ni mnoga od njih ne počinju s 1 (zapravo skoro da i nema nikoga s npr. 19 godina). Za razliku od lutrije, gdje su podatci uniformno distribuirani i potpuno slučajni, ovi podatci nisu slučajni, nego su jako ograničeni i determinirani, tj. raspon mogućnosti preuzak je da bi dozvolio da se Benfordov zakon održi.

Drugim riječima, Benfordov zakon treba podatke koji nisu ni potpuno slučajni niti su jako ograničeni, već nešto između. Ti podatci mogu biti jako široki i tipični su rezultati više procesa s mnogo utjecaja, kao npr. populacija gradova koja može doseći razinu od desetak tisuća do nekoliko milijuna i ovisi o velikom rasponu faktora. Matematičari su otkrili da što veću količinu podataka imamo i što više podatci variraju, to se relativne frekvencije brojeva više približavaju relativnim frekvencijama iz Benfordovog zakona.

Pogledajmo sada kako su logaritmi brojeva 1, 2, 3, ... , 9 distrubuirani unutar segmenta [0, 1]:

Vidimo da brojevi koji započinju s 1 zauzimaju puno veći dio segmenta nego brojevi koji započinju s 9. Preciznije, brojevi koji započinju sa znamenkom 1 zauzimaju 30.1% duljine čitavog segmenta. Podatci za ostale znamenke navedeni su u sljedećoj tablici:

Logaritamska skala

1

2

3

4

5

6

7

8

9

30.1%

17.6%

12.5%

9.7%

7.9%

6.7%

5.8%

5.1%

4.6%

Benford je pretpostavio da udaljenost između broja i njegovog sljedbenika, podijeljena s cijelom dužinom skale, daje vjerojatnost da će taj broj biti prva znamenka u danoj skupini podataka. Za bazu 10 matematički se to izražava na sljedeći način:

P = (log10(n + 1) - log10(n)) / (log1010 - log101) = log10(n + 1) - log10(n) = log10(1+1/n),

gdje je n prva značajna znamenka broja.

Tako je vjerojatnost da 1 bude prva značajna znamenka jednaka log10(2) = 0.3010, tj. 30.1%.

Za 2, 3, 4, ..., 9  uvrštavanjem u prethodnu formulu dobivaju se sljedeće vrijednosti:

Izvod Benfordovog zakona

Pokažimo da je frekvencija pojavljivanja prve znamenke u geometrijskom nizu qn upravo kao u Benfordovom zakonu ako je log q pozitivan iracionalan broj.

Uzmimo da je prva znamenka od qn jednaka k. Tada je

qn element [k * 10m, (k + 1) * 10m >,   m element N, k element {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

<=>   n log10 q element [log10 k + m, log10 (k + 1) + m >.

Kako je m prirodan broj, a log10 k, log10 (k + 1) element [0,1], ova relacija ekvivalentna je s

n log10 q element [log10 k, log10 (k + 1) > mod 1,

gdje je mod operacija koja daje ostatak pri cjelobrojnom dijeljenju. Alternativna oznaka za x mod 1 jest {x}. To je "razlomljeni dio" broja x, a može se definirati sa {x} = x - [x], gdje [x] predstavlja najveći cijeli broj manji ili jednak x.

Navedimo sada (bez dokaza) jednu lemu iz teorije vjerojatnosti koju ćemo iskoristiti u daljnjem izvodu.

Lema: Ako je alpha iracionalan broj, onda je frekvencija kojom niz (nalpha), n element N, pada u interval <a, b> mod 1, 0 =< a < b < 1, jednaka b - a.

Sada, znači, imamo da je u našem slučaju frekvencija kojom nlog10 q pada u interval [log10 k, log10 (k + 1) > mod 1 jednaka

log10(k + 1) - log10k = log10 (1 + 1/k).

Dakle, dobili smo frekvencije kao u Benfordovom zakonu jer je frekvencija pojavljivanja znamenke k = 1 kao prve znamenke u geometrijskom nizu qn jednaka log10 2 = 0.301, za k = 2 je log10 (1 + 1/k) = 0.176 , ... , za k = 9 je log10 (1 + 1/k) = 0.046.

Vidjeli smo da je frekvencija pojavljivanja znamenki u Benfordovom zakonu upravo logaritamska.

Ovaj izvod pokazuje zašto Fibonaccijevi brojevi poštuju Benfordov zakon. Naime, svaki Fibonaccijev broj Fn može se izraziti eksplicitno kao funkcija od n, naime Fn je najbliži prirodan broj broju (1/korijen5) * alphan, gdje je alpha = (1 + korijen5)/2 = 1.61803. Kako je alpha iracionalan broj, prema provedenom izvodu slijedi da se frekvencije početnih znamenki kod Fibonaccijevih brojeva ponašaju u skladu s Benfordovim zakonom, tj. frekvencija pojavljivanja početne znamenke je logaritamska.

Za bazu 10, tj. dekadski sustav, vrijedi Benfordov zakon. Sljedeća slika pokazuje kako to izgleda u bazama 2, 3, 4, 5, ..., 10. Na x–osi nalaze se znamenke, a na y– osi vjerojatnost da ta znamenka bude prva značajna znamenka u broju u pripadnoj bazi (vjerojatnosti za određenu bazu obojane su različitim bojama).

Vidimo da i za baze 2, 3, 4, ..., 9 znamenka 1 ima najveću vjerojatnost pojavljivanja kao prva značajna znamenka u broju, tj. da Benfordov zakon vrijedi ne samo za bazu 10, nego i baze 2, 3, 4, ..., 9.

Benfordov zakon ne vrijedi za drugu značajnu znamenku u broju pa je tako vjerojatnost da će 1 biti druga značajna znamenka u broju jednaka 0.1138, a vjerojatnost da će 1 biti neka manje značajna znamenka u broju približava se 0.10 kako idemo dalje, tj. nakon prve značajne znamenke za koju vrijedi Benfordova raspodjela, znamenke počinju biti uniformno distribuirane.

Zaključak

Ako se pitate da li bi Benfordov zakon uopće mogao biti koristan i gdje, odgovor je da sve više matematičara, a i informatičara, drži da je Benfordov zakon snažan i relativno jednostavan alat za otkrivanje računovodstvenih prijevara, lažiranja podataka kod plaćanja poreza i čak za otkrivanja računalnih bugova. Porezne uprave nekoliko država, kao npr. Kalifornije, već koriste računalne programe za otkrivanje prijevara bazirane na Benfordovom zakonu, kao i neke velike svjetske kompanije. Dr. Nigrin sa sveučilišta u Dallasu, jedan od vodećih stručnjaka i znanstvenik koji je stekao priznanja za otkrivanje praktične upotrebe Benfordovog zakona, uvjeren je, kao i mnogi drugi stručnjaci, kako će Benfordov zakon u budućnosti biti sve češće primjenjivan u različite svrhe. Jedan od najranijih eksperimenata koje je proveo dr. Nigrin s programom koji se bazira na Benfordovom zakonu, bila je analiza porezne prijave predsjednika Clintona. Utvrdio je kako prijava sadrži vjerojatno zaokružene vrijednosti, a ne precizne brojeve, ali da nije lažna, tj. da nema porezne prijevare. Kako on kaže: "Benford je za mene veliki junak. Njegov zakon nije magičan, ali se katkad čini takvim!"

Literatura

[1] K. Brown: Benford's Law, MathPages
      http://www.mathpages.com/home/kmath302/kmath302.htm

[2] E. Weisstein: Benford's Law, MathWorld
      http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html

[3] Benford's Law - How to Spot Tax Fraud, Amazing Applications of Probability and Statistics
      http://www.intuitor.com/statistics/Benford'sLaw.html

[4] J. Walthoe, R. Hunt, M. Pearson: Looking out for number one, +plus magazine, September 1999
      http://plus.maths.org/issue9/features/benford

[5] R. Knott: The Mathematical Magic of the Fibonacci Numbers
      http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html

Uvod
Povijest Benfordovog zakona
Primjeri Benfordovog zakona
Izvod Benfordovog zakona
Zaključak
Literatura