Zadaci za 4. razred - A kategorija

1. Neka je n prirodan broj takav da je n + 1 djeljiv s 24.
   a) Dokažite da broj n ima paran broj djelitelja (uključujući 1 i sam broj n).
   b) Dokažite da je zbroj svih djelitelja broja n djeljiv s 24.
   
   
2. Niz (a_n) zadan je rekurzivno: a₀ = 3, a_n = 2 + a₀·a₁· ...·a_n−1, n ≥ 1.
   a) Dokažite da su svi članovi tog niza u parovima relativno prosti prirodni brojevi.
   b) Odredite a₂₀₀₇.
   
   
3. Zadana je tablica 5×n kojoj je svako polje obojano u crvenu ili plavu boju. Nađite najmanji n za koji se uvijek mogu odabrati tri retka i tri stupca takva da je svih 9 polja u njihovom presjeku iste boje.
   
   
4. Šiljastokutni trokut ABC kome su A₁, B₁ i C₁ polovišta stranica BC, CA i AB upisan je u kružnicu sa središtem u točki O polumjera 1.
   Dokažite da je 1 / |OA₁| + 1 / |OB₁| + 1 / |OC₁| ≥ 6.