Zadaci za 3. razred - B kategorija

1. a) Dokažite da vrijedi tg 3x = tg x · tg(60° + x) · tg(60° − x).
   b) Izračunajte tg 20° · tg 40° · tg 60° · tg 80°.
   
   
2. Ako su u konveksnom četverokutu jednaki zbrojevi kvadrata duljina suprotnih stranica, dokažite da su mu dijagonale okomite.
   
   
3. Trapezu ABCD je opisana i upisana kružnica. Omjer visine trapeza i polumjera opisane kružnice je √ 2/3 . Odredite kutove trapeza.
   
   
4. Pravilni oktaedar je tijelo sastavljeno od dvije pravilne četverostrane piramide sa zajedničkom osnovkom i preostala dva vrha simetrična s obzirom na ravninu te osnovke, takvo da svih 12 bridova imaju jednake duljine.
   Odredite omjer volumena opisane i upisane kugle pravilnom oktaedru.
   
   
5. Dokažite da za sve proste brojeve p > 3 broj p² + 11 ima više od šest različitih prirodnih djelitelja (računajući 1 i samog sebe).