Zadaci za 3. razred - A kategorija

1. Neka je n prirodan broj takav da je n + 1 djeljiv s 24.
   a) Dokažite da broj n ima paran broj djelitelja (uključujući 1 i sam broj n).
   b) Dokažite da je zbroj svih djelitelja broja n djeljiv s 24.
   
   
2. U trokutu ABC s kutom ∠BAC = 120° simetrale kutova ∠BAC, ∠ABC i ∠BCA sijeku nasuprotne stranice u točkama D, E i F redom. Dokažite da kružnica s promjerom EF prolazi kroz D.
   
   
3. U šiljastokutnom trokutu ABC udaljenosti od vrha A do središta opisane kružnice i ortocentra su jednake. Izračunati kut α = ∠BAC.
   
   
4. Deset brojeva 1, 4, 7,..., 28 (razlika dvaju uzastopnih je 3) raspoređeno je u krug. Sa N označimo najveću od deset suma koje dobivamo tako da svaki od brojeva zbrojimo s dva njemu susjedna broja. Koja je najmanja vrijednost broja N koju možemo postići?