Zadaci za 1. razred - A kategorija

1. Nađite realna rješenja sustava jednadžbi:

   x + y + z = 2

   (x+y)(y+z) + (y+z)(z+x) + (z+x)(x+y) = 1

   x²(y+z) + y²(z+x) + z²(x+y) = −6

   
   
2. Na polupravcima p i q sa zajedničkim početkom O dane su točke A i C (na p) te B i D (na q). Ako je pravac CD paralelan s težišnicom trokuta OAB, dokažite da je pravac AB paralelan s težišnicom trokuta OCD.
   
   
3. a) Dokažite da se ploča dimenzija 4×4 može obojiti u dvije boje tako da za svaki izbor dvaju redaka i dvaju stupaca vrijedi da četiri polja u presjecima tih redaka i stupaca nisu sva obojana istom bojom.
   b) Dokažite da gore navedeno svojstvo ne vrijedi za ploču dimenzija 5×5.
   
   
4. Odredite najveći prirodni broj n takav da n² + 2007n bude kvadrat nekog prirodnog broja.