Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
 
O  
48. MEĐUNARODNA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
Hanoi, Vijetnam, 19.-31. srpnja 2007. print-verzija
O

Zadaci

  1. Dani su realni brojevi a1, a2, ..., an. Za svako i (1 ≤ in), definirano je di = max { aj : 1 ≤ ji} − min { aj : ijn} i d = max { di : 1 ≤ in}.
    a) Dokaži da za realne brojeve x1x2 ≤ ... ≤ xn, vrijedi: max { |xiai| : 1 ≤ in} ≥ d/2.
    b) Dokaži da postoje realni brojevi x1x2 ≤ ... ≤ xn takvi da nejednakost iz a) postaje jednakost.

  2. Promatraj pet točaka A, B, C, D i E takvih da je ABCD paralelogram, a BCED tetivni četverokut. Neka je l pravac koji prolazi točkom A. Pretpostavi da l siječe dužinu CD u unutrašnjoj točki F i pravac BC u G. Pretpostavimo da je |EF|=|EG|=|EC|. Dokaži da je l simetrala kuta DAB.

  3. Na matematičkom natjecanju neki su natjecatelji prijatelji. Prijateljstvo je uzajamno obostrano. Grupu natjecatelja zvat ćemo družina ako su svaka dva među njima prijatelji. (Specijalno, grupa s manje od dva natjecatelja je družina.) Broj članova družine zvat ćemo njenom veličinom.
    Ako je na tom natjecanju najveća veličina družine paran broj, dokaži da se natjecatelji mogu smjestiti u dvije prostorije tako da najveća veličina družinâ u jednoj prostoriji bude jednaka najvećoj veličini družinâ u drugoj.

  4. U trokutu ABC simetrala kuta BCA siječe opisanu mu kružnicu ponovo u točki R, simetralu stranice BC u P, a simetralu stranice AC u Q. Polovište stranice BC je K, a polovište stranice AC je L. Dokaži da su površine trokuta RPK i RQL jednake.

  5. Neka su a i b prirodni brojevi. Pokaži da ako 4ab − 1 dijeli (4a² − 1)², tada je a = b.

  6. Neka je n prirodan broj. Promatraj skup S = { (x, y, z) : 0 ≤ x, y, zn, x + y + z > 0 } kao skup od (n + 1)³ − 1 točaka u trodimenzionalnom prostoru. Odredi najmanji mogući broj ravnina, čija unija sadrži sve točke skupa S, ali ne sadrži točku (0,0,0).

O ---O