Zadaci

1. Dani su realni brojevi a₁, a₂, ..., a_n. Za svako i (1 ≤ i ≤ n), definirano je d_i = max { a_j : 1 ≤ j ≤ i} − min { a_j : i ≤ j ≤ n} i d = max { d_i : 1 ≤ i ≤ n}.
   a) Dokaži da za realne brojeve x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n, vrijedi: max { |x_i − a_i| : 1 ≤ i ≤ n} ≥ d/2.
   b) Dokaži da postoje realni brojevi x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n takvi da nejednakost iz a) postaje jednakost.
   
   
2. Promatraj pet točaka A, B, C, D i E takvih da je ABCD paralelogram, a BCED tetivni četverokut. Neka je l pravac koji prolazi točkom A. Pretpostavi da l siječe dužinu CD u unutrašnjoj točki F i pravac BC u G. Pretpostavimo da je |EF|=|EG|=|EC|. Dokaži da je l simetrala kuta DAB.
   
   
3. Na matematičkom natjecanju neki su natjecatelji prijatelji. Prijateljstvo je uzajamno obostrano. Grupu natjecatelja zvat ćemo družina ako su svaka dva među njima prijatelji. (Specijalno, grupa s manje od dva natjecatelja je družina.) Broj članova družine zvat ćemo njenom veličinom.
   Ako je na tom natjecanju najveća veličina družine paran broj, dokaži da se natjecatelji mogu smjestiti u dvije prostorije tako da najveća veličina družinâ u jednoj prostoriji bude jednaka najvećoj veličini družinâ u drugoj.
   
   
4. U trokutu ABC simetrala kuta BCA siječe opisanu mu kružnicu ponovo u točki R, simetralu stranice BC u P, a simetralu stranice AC u Q. Polovište stranice BC je K, a polovište stranice AC je L. Dokaži da su površine trokuta RPK i RQL jednake.
   
   
5. Neka su a i b prirodni brojevi. Pokaži da ako 4ab − 1 dijeli (4a² − 1)², tada je a = b.
   
   
6. Neka je n prirodan broj. Promatraj skup S = { (x, y, z) : 0 ≤ x, y, z ≤ n, x + y + z > 0 } kao skup od (n + 1)³ − 1 točaka u trodimenzionalnom prostoru. Odredi najmanji mogući broj ravnina, čija unija sadrži sve točke skupa S, ali ne sadrži točku (0,0,0).