Zadaci

Pojedinačno natjecanje

1. Neka su a, b, c, d pozitivni realni brojevi, takvi da je a + b + c + d = 4. Dokaži da vrijedi a²bc + b²cd + c²da + d²ab ≤ 4.
   
   
2. Komplet kuglica sadrži n kuglica označenih brojevima 1, 2, 3,..., n. Dano je k > 1 takvih kompleta. Želimo obojiti kuglice u dvije boje, crnu i bijelu, tako da vrijede sljedeća svojstva:
   (a) kuglice označene istim brojem obojene su istom bojom,
   (b) svaki skup od k+1 kuglica označenih brojevima a₁, a₂,..., a_k+1 (ne nužno različitim) za koje vrijedi a₁ + a₂ + ... + a_k = a_k+1, sadrži barem jednu crnu i barem jednu bijelu kuglicu.
   Odredi, ovisno o k, najveći broj n za koji je takvo bojenje moguće.
   
   
3. Neka je k kružnica i k₁, k₂, k₃, k₄ četiri manje kružnice čija su središta O₁, O₂, O₃, O₄ redom, te neka ta središta leže na kružnici k. Za i = 1,2,3,4, uz k₅ = k₁, kružnice k_i i k_i+1 sijeku se u A_i i B_i, pri čemu A_i leži na k. Točke O₁, A₁, O₂, A₂, O₃, A₃, O₄, A₄ leže tim redom na kružnici k i sve su međusobno različite. Dokaži da je B₁B₂B₃B₄ pravokutnik.
   
   
4. Odredi sve parove (x,y) prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu x! + y! = x^y.
   
   

Ekipno natjecanje

1. Neka su a, b, c, d realni brojevi koji zadovoljavaju 1/2 ≤ a, b, c, d ≤ 2 i abcd = 1. Odredite najveću vrijednost izraza (a + 1/b)(b + 1/c)(c + 1/d)(d + 1/a).
   
   
2. Za skup P koji se sastoji od pet točaka ravnine u općem položaju, označimo s a(P) broj šiljastokutnih trokuta s vrhovima iz P. (Za skup točaka ravnine kažemo da su u općem položaju, ako nikoje tri od tih točaka ne leže na istom pravcu.) Odredite najveću moguću vrijednost od a(P).
   
   
3. MEMO-tetraedar je tetraedar (trostrana piramida) sa svojstvom da su duljine njegovih šest bridova međusobno različiti prirodni brojevi, od kojih je jedan 2, i jedan 3. Neka s(T) označava zbroj duljina bridova tetraedra.
   (a) Odredite sve prirodne brojeve n, za koje postoji MEMO-tetraedar T, takav da je s(T) = n.
   (b) Koliko ima nesukladnih MEMO-tetraedara T za koje vrijedi s(T) = 2007 ?
   Dva tetraedra su nesukladna ako se ne mogu preslikati jedan na drugoga kompozicijom simetrija u odnosu na ravninu, translacija i rotacija. (Nije potrebno dokazivati da tetraedri nisu degenerirani, t.j. da imaju volumen veći od nule.)
   
   
4. Odredite sve prirodne brojeve k sa sljedećim svojstvom: postoji cijeli broj a takav da je (a + k)³ − a³ višekratnik od 2007.