MATH.E     Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
 
http://web.math.hr/mathe/

15. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Kraljevica, 26.-29. travnja 2006.

Zadaci za 3. razred - B kategorija

  1. Ako vrijede jednakosti
    x   +   y   +   z  = 0     i     a   +   b   +   c  = 1
    a b c x y z
    dokaži da vrijedi
    a2   +   b2   +   c2  = 1
    x2 y2 z2


  2. Dokaži da nejednakost   | √1+sin(2x) - √1-sin(2x) | ≤ √2   vrijedi za sve realne brojeve x.

  3. U kružnicu polumjera 1 upisan je četverokut ABCD, pri čemu je AD promjer kružnice. Dokaži jednakost | AB | 2 + | BC | 2 + | CD | 2 + | AB | · | BC | · | CD | = 4 .

  4. Oko polukugle polumjera r opisan je stožac duljine visine H, tako da su baze polukugle i stošca koncentrični krugovi. Izračunaj volumen onog dijela stošca koji ne pripada polukugli, tj. izrazi taj volumen pomoću r i H.

  5. Između šest otoka uspostavljene su brodske veze. Svaki par otoka povezan je ili trajektom ili katamaranom. Dokaži da postoje tri otoka od kojih su svaka dva od njih povezana istovrsnom brodskom vezom.