Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
		http://web.math.hr/mathe/

15. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Kraljevica, 26.-29. travnja 2006.

Zadaci za 3. razred - A kategorija

1. Duljine stranica trokuta su a, b i c=(a²-b²)/√ a² + b² , a>b. Dokaži da za kutove α i β, nasuprotne stranicama a i b, vrijedi α-β=90°.
   
   
2. U jednakokračnom trokutu ABC s krakovima AB i AC, D je polovište osnovice BC. Neka je točka E nožište okomice iz D na stranicu AB, te F polovište dužine DE. Dokaži da je AF okomito na EC.
   
   
3. Kružnice C₁ i C₂ sijeku se u točkama A i B. Tangenta kružnice C₂ povučena iz točke A siječe kružnicu C₁ u točki C, a tangenta kružnice C₁ povučena iz točke A siječe kružnicu C₂ u točki D. Polupravac kroz točku A, koji leži unutar kuta ∠CAD, siječe kružnicu C₁ u točki M, kružnicu C₂ u točki N i kružnicu opisanu trokutu ACD u točki P. Dokaži da je udaljenost točaka A i M jednaka udaljenosti točaka N i P.
   
   
4. Šest otoka povezano je linijama jednog trajektnog i jednog hidrogliserskog poduzeća. Svaka dva otoka povezana su (u oba smjera) linijom točno jednog od ova dva poduzeća. Dokaži da je moguće ciklički posjetiti četiri otoka koristeći linije samo jednog poduzeća (tj. da postoje četiri otoka A, B, C i D i poduzeće čiji brodovi plove na linijama A↔B, B↔C, C↔D, D↔A).