MATH.E     Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
 
http://web.math.hr/mathe/

15. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Kraljevica, 26.-29. travnja 2006.

Zadaci za 1. razred - B kategorija

  1. Neka je  x = (b2+c2 - a2) / (2bc)   i   y = ( a - b + c )( a + b - c ) / (( a + b + c )( b + c - a )). Dokaži da je ( x + 1 )( y + 1 ) = 2.

  2. Za koje realne brojeve a jednadžba | x - 2 | + | 3 - x | = a ima točno dva rješenja ?

  3. U pravokutnom trokutu ABC (γ= 90°), središte upisane kružnice udaljeno je od vrhova A, B, C redom za √5, √10, √2 cm. Odredi polumjer tom trokutu opisane kružnice.

  4. Dokaži da ne postoje neparni cijeli brojevi x, y, z za koje vrijedi ( x + y )2 + ( x + z )2 = ( y + z )2.

  5. Razred od 28 učenika dobio je za domaću zadaću 8 zadataka. Svaki učenik riješio je točno dva zadatka, a nikoja dva učenika nisu riješila ista dva zadatka. Pokaži da je svaki zadatak riješilo jednako mnogo učenika. Koliko?