Zadaci

1. Neka je I središte upisane kružnice trokuta ABC. U unutrašnjosti trokuta ABC dana je točka P takva da je  ∠PBA + ∠PCA  =  ∠PBC + ∠PCB.  Dokažite da je   | AP | ≥ | AI |,  te da jednakost vrijedi ako i samo ako se točka P podudara sa točkom I.

2. Neka je P pravilni poligon sa 2006 stranica. Za dijagonalu poligona P kažemo da je dobra ako njezine krajnje točke dijele rub od P na dva dijela, tako da se svaki od njih sastoji od neparnog broja stranica poligona P. Za stranice poligona P također kažemo da su dobre.
   Promatrajmo podjele poligona P na trokute pomoću 2003 dijagonale, tako da nikoje dvije među tim dijagonalama nemaju zajedničku točku u unutrašnjosti poligona P. Nađite maksimalni broj jednakokračnih trokuta s dvije dobre stranice, koji se mogu dobiti pri nekoj takvoj podjeli.

3. Odredite najmanji realni broj M takav da nejednakost   | ab(a²-b²) + bc(b²-c²) + ca(c²-a²) |  ≤  M (a²+b²+c²)²  vrijedi za sve realne brojeve a, b i c.

4. Nađite sve parove (x,y) cijelih brojeva takvih da vrijedi   1 + 2^x + 2^2x+1  =  y².

5. Neka je P(x) polinom stupnja n, n>1, sa cjelobrojnim koeficijentima i neka je k prirodan broj. Promatrajmo polinom  Q(x) = P(P(...P(P(x))...)),   pri čemu se P pojavljuje k puta. Dokažite da postoji najviše n cijelih brojeva t takvih da je Q(t)=t.

6. Svakoj stranici b konveksnog poligona P pridružena je maksimalna površina trokuta kojemu je b jedna od stranica i koji je sadržan u poligonu P. Dokažite da je zbroj svih površina pridruženih stranicama poligona P veći ili jednak od dvostruke površine poligona P.