14. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Omišalj, 4. - 7. svibnja 2005.

Zadaci za II. razred

1. Neka su a, b, c realni brojevi, a 0. Ako je x₁ jedno rješenje jednadžbe

   ax² + bx + c = 0

   i x₂ jedno rješenje jednadžbe

   -ax² + bx + c = 0,

   dokažite da je tada jedno rješenje x₃ jednadžbe

   a/2 x² + bx + c = 0

   između x₁ i x₂, tj. x₁ x₃ x₂ ili x₂ x₃ x₁.

2. Središte U upisane kružnice trokuta ABC spojeno je dužinama s njegovim vrhovima. Neka su O₁, O₂ i O₃ središta kružnica opisanih trokutima BCU, CAU i ABU. Dokažite da kružnice opisane trokutima ABC i O₁O₂O₃ imaju zajednično središte.

3. Ako su a, b i c realni brojevi veći od 1, dokažite da za svaki realni broj r vrijedi jednakost

   (log_a bc)^r + (log_b ac)^r + (log_c ab)^r 3 2^r .

4. Dokažite da u svakom skupu od 11 prirodnih brojeva postoji njih 6, čiji je zbroj djeljiv sa 6.