14. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Omišalj, 4. - 7. svibnja 2005.

Zadaci za I. razred

1. Odredite sve brojeve čiji je zapis u dekadskom sustavu oblika 13xy45z, gdje su x, y, z nepoznate znamenke, koji su djeljivi sa 792.

2. Spojnice središta trokutu upisane kružnice i njegovih vrhova dijele ga na tri trokuta od kojih je jedan sličan polaznome. Odredite kutove polaznog trokuta.

3. Koju najveću vrijednost može poprimiti izraz

   

   ako su k, m, n prirodni brojevi takvi da je 1/k + 1/m + 1/n < 1.

4. Duljine stranica trokuta su a, b i c, a R je duljina polumjera opisane mu kružnice. Odredite kutove trokuta ako vrijedi