Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

14. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Omišalj, 4. - 7. svibnja 2005.

Zadaci za VIII. razred


  1. Odredi sve troznamenkaste brojeve abc koji imaju svojstvo da je 22 / (a2 + b2 + c2) prirodan broj.

  2. Nad stranicama pravokutnog trokuta konstruirani su izvana jednakostranični trokuti. Za njih vrijedi da je zbroj površina trokuta nad hipotenuzom i trokuta nad kraćom katetom jednak zbroju površina trokuta nad duljom katetom i pravokutnog trokuta. Izračunaj omjer duljina hipotenuze i kraće katete.

  3. Nađi sve prirodne brojeve n za koje su ispravne točno dvije od sljedeće tri tvrdnje:
        1)   Broj n je kvadrat prirodnog broja.
        2)   Posljednja znamenka broja n je 3.
        3)   Broj n + 15 je kvadrat prirodnog broja.

  4. Ako za realni broj x, x > 1, vrijedi jednakost

    x-1/x=sqrt(x)+1/sqrt(x)

    koliko je x+1/x?

  5. Neka je dana kružnica k središta S i promjera AB. U nju je upisana kružnica k1 tako da dira promjer AB u središtu S i kružnicu k. Kružnica k2 dira obje kružnice k i k1 te promjer AB. Dokaži da su središta tih triju kružnica vrhovi jednakokračnog trokuta.