Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

46. MEĐUNARODNA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

Merida, Meksiko, 8. - 19. srpnja 2005.

Zadaci


  1. (Rumunjska) Na stranicama jednakostraničnog trokuta ABC nalazi se šest točaka: A1 i A2 na BC, B1 i B2 na CA te C1 i C2 na AB. Te točke su vrhovi konveksnog šesterokuta A1A2B1B2C1C2 čije stranice imaju jednake duljine. Dokažite da se pravci A1B2, B1C2 i C1B2 sijeku u jednoj točki.

  2. (Nizozemska) Neka je a1, a2, ... niz cijelih brojeva koji ima beskonačno mnogo pozitivnih i beskonačno mnogo negativnih članova. Poznato je da za svaki prirodan broj n, brojevi a1, a2, ... , an daju n različitih ostataka pri dijeljenju s n. Dokažite da se svaki cijeli broj pojavljuje u ovom nizu točno jedanput.

  3. (Južna Koreja) Neka su x, y i z pozitivni realni brojevi takvi da je xyz >= 1. Dokažite da je

    (x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2)+... >= 0

  4. (Poljska) Niz a1, a2, ... definiran je s

    an = 2n + 3n + 6n - 1     (n = 1, 2, ... ).

    Nađite sve prirodne brojeve koji su relativno prosti sa svakim članom ovog niza.

  5. (Poljska) Neka je ABCD konveksan četverkut čije stranice BC i AD imaju jednake duljine i nisu paralelne. Neka je E točka na stranici BC, različita od B i C te neka je F točka na stranici AD, različita od A i D, tako da je |BE| = |DF|. Pravci AC i BD sijeku se u točki P, pravci BD i EF u točki Q, a pravci EF i AC u točki R. Promotrimo trokute PQR koje dobivamo za sve takve točke E i F. Dokažite da ovim trokutima opisane kružnice imaju zajedničku točku različitu od P.

  6. (Rumunjska) Na matematičkom natjecanju bilo je zadano 6 zadataka. Pokazalo se da je svaki par zadataka riješilo više od 2/5 ukupnog broja natjecatelja, ali nitko nije riješio svih 6 zadataka. Dokažite da postoje barem 2 natjecatelja takva da je svaki od njih riješio točno 5 zadataka.