45. MEĐUNARODNA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

Atena, Grčka, 4. - 18. srpnja 2004.

Zadaci

1. (Rumunjska) Neka je ABC šiljastokutan trokut takav da je |AB| |AC|. Kružnica kojoj je promjer BC siječe stranice AB i AC u točkama M i N, tim redom. Polovište stranice BC je točka O. Sjecište simetrala kutova BAC i MON je točka R. Dokažite da se kružnice opisane trokutima BMR i CNR sijeku u točki na stranici BC.

2. (Koreja) Odredite sve polinome P(x) s realnim koeficijentima koji zadovoljavaju jednakost

   P(a - b) + P(b - c) + P(c - a) = 2 P(a + b + c)

   za sve realne brojeve a,b,c takve da je ab + bc + ca = 0.

3. (Estonija) Neka je kuka figura koja je načinjena od šest jediničnih kvadrata kao na slici

   

   ili bilo koja figura dobivena od ove figure primjenom rotacija i osnih simetrija.

   Odredite sve m × n pravokutnike koji se mogu pokriti kukama tako da:

   • pravokutnik bude pokriven bez praznina i bez preklapanja;
   • nijedan dio kuke ne bude izvan pravokutnika.

4. (Koreja) Neka je n ≥ 3 prirodan broj. Neka su t₁, t₂, ... , t_n pozitivni realni brojevi takvi da je

   

   Dokaži da su t_i, t_j, t_k duljine stranica trokuta za sve i,j,k takve da je 1 ≤ i < j < k ≤ n.

5. (Poljska) U konveksnom četverokutu ABCD dijagonala BD nije simetrala niti kuta ABC niti kuta CDA. Točka P je unutar kvadrata ABCD takva da je

   PBC = DBA   i   PDC = BDA.

   Dokažite da je ABCD tetivni četverokut ako i samo ako je |AP| = |CP|.

6. (Iran) Prirodan broj nazivamo alternirajući ako su mu svake dvije susjedne znamenke u decimalnom prikazu različite parnosti.
   Odredite sve prirodne brojeve n takve da postoji alternirajući višekratnik od n.