Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

44. MEĐUNARODNA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

Tokyo, Japan, 7. - 17. srpnja 2003.

Zadaci


  1. Neka je A podskup skupa S = {1, 2, ... , 1000000} koji sadrži točno 101 element. Dokazati da postoje brojevi t1, t2, ... , t100 u S takvi da su skupovi

    Aj = {x + tj | x in A}   za j = 1, 2, ... , 100

    u parovima disjunktni.

  2. Odrediti sve parove (a, b) pozitivnih cijelih brojeva, takve da je

    a2 / (2ab2 - b3 + 1)

    pozitivan cijeli broj.

  3. Dan je konveksan šesterokut kod kojeg svake dvije nasuprotne stranice imaju ovo svojstvo: udaljenost njihovih polovišta jednaka je produktu broja korijen3 / 2 i zbroja njihovih duljina. Dokazati da su svi kutovi šesterokuta mađusobno jednaki.
    (Konveksan šesterokut ABCDEF ima tri para nasuprotnih stranica: |AB| i |DE|, |BC| i |EF|, |CD| i |FA|.)

  4. Neka je ABCD tetivni četverokut. neka su P, Q i R nožišta okomica iz točke D na pravce BC, CA i AB, tim redom. Dokazati da je |PQ| = |QR| ako i samo ako se simetrale kutova kut ABC i kut ADC sijeku u točki koja leži na pravcu AC.

  5. Neka je n pozitivan cijeli broj i x1, x2, ... , xn realni brojevi, takvi da je x1 <= x2 <= ... <= xn.
    (a) Dokazati nejednakost

    sum(|xi-xj|) <= ...

    (b) Pokazati da jednakost vrijedi ako i samo ako je x1, ... , xn aritmetički niz.

  6. Neka je p prost broj. Dokazati da postoji prost broj q takav da za svaki cijeli broj n, broj np - p nije djeljiv s q.