math.e - Rješenje 2. zadatka u 2. broju

	Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
	http://web.math.hr/mathe/

Rješenje 2. zadatka u 2. broju

Prvo osigurajmo nenegativnost radikanada:

x² - 8x + 15 ≥ 0 --> x element , 3] unija [5, + ,
x² + 2x - 15 ≥ 0 --> x element , -5] unija [3, + ,
4x² - 18x + 18 ≥ 0 --> x element , 3/2] unija [3, + .

Budući da x mora zadovoljavati sva tri navedena uvjeta, vrijedi:

x element , -5] unija {3} unija [5, + .

Sad smijemo kvadrirati obje strane nejednadžbe (obje su pozitivne). Dobivamo:

$x^2-6x+9<=sqrt{(x^2-8x+15)(x^2+2x-15)}$ (*)

Pogledajmo sad funkciju g(x) = x² - 6x + 9. Ona je na cijelom svom području definicije pozitivna, osim za vrijednost x = 3 za koju je g(3) = 0. Dakle, jedini slučaj koji moramo ispitati jest ((g(x) ≥ 0) & (f(x) ≥ (g(x))²)), gdje je f(x) = (x² - 8x + 15)(x² + 2x - 15). Ako kvadriramo izraz (*), dobivamo:

6x³ - 70x² + 258x - 306 ≥ 0. (**)

Riješimo kubnu nejednadžbu (**). Dobivamo realna nulišta x₁ = 3 i x₂ = 17/3. Skiciramo graf te kubne funkcije i vidimo da je ona veća od nule za x element

17/3, +

. Dakle, rješenje kubne nejednadžbe, a ujedno i rješenje polaznog zadatka, jest

x element {3} unija [17/3, + +oo .

Marko Horvat, 4. razred, V. gimnazija, Zagreb