Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

Rješenje 1. zadatka u 2. broju

Pretpostavimo da je središte koordinatnog sustava točka A2 = (0,0) velikog trokuta. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je polumjer upisane kružnice trokuta A2B2C2 jednak 1. S f i g označimo kotangense polovica kutova u vrhovima A2 i B2 velikog trokuta. U tom slučaju, uz pretpostavljeni polumjer r = 1, točka B2 ima koordinate (f + g,0), a točka M = (f,1). Diralište kružnice gama i dužine A2B2 (točka C1) ima koordinate (f,0), a tada točka C malog trokuta ima koordinate (f, 1/2).

Preostale dvije točke B1 i A1 dobiju se kao rješenja sustava dvije jednadžbe s dvije nepoznanice, pretpostavivši d(M, B1) = 1, d(B1, A2) = f, te analogno za drugu točku A1. Dobivaju se rješenja:

A1 = ((f + 2g)/(1 + g2), 3/2 - 1/(1+g2)),     B1 = ((f3 - f)/(1 + f2), 2f2/(1 + f2)).

Zatim se nađu jednadžbe pravaca kroz A2B1 i B2A1, te se nađe njihov presjek kako bi se dobile koordinate točke C2:

C2 = ((f2 - 1)g/(fg - 1), 2fg/(fg - 1)).

Sada je moguće preko formule za površinu trokuta sa zadanim koordinatama vrhova izračunati površinu većeg trokuta. Dobije se da je površina trokuta A2B2C2 jednaka fg(f + g)/(fg - 1).

Koordinate od B i A moguće je dobiti kao polovišta dužina MB1 i MA1 jer tražene točke leže u središtima kružnica, dok poznate točke kojima znamo koordinate leže na presjeku promjera i kružnice, dakle na istom pravcu.

Tada istom formulom izrazimo površinu manjeg trokuta. Dobivamo da je površina trokuta ABC jednaka fg(f + g)/[2(1 + f2)(1 + g2)], pa je traženi omjer

2(1 + f2)(1 + g2)/(fg - 1).


Hrvoje Čavrak, student 1. godine, PMF-Matematički odjel, Zagreb