Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
	http://www.math.hr/~mathe/

Matrične transformacije ravnine

Tvrtko Bedeković, Borko Jandras, Darko Žubrinić

• Vizualizacija:
  • Java (Tvrtko Bedeković)
  • C++ (Borko Jandras)
  • Java (Darko Žubrinić)
• Matrica homotetije
• Matrica zakošenja
• Ortogonalne matrice
• Nekomutativnost množenja matrica
• Veza s kompleksnim brojevima
• Veza s vektorskim produktom
• Veza s Jacobijanom
• Orijentacija, lijevi i desni koordinatni sustav u ravnini
• Vlastite (svojstvene) vrijednosti i vlastiti vektori matrice

Svakoj točki ravnine s koordinatama (x,y) pridružujemo točku druge ravnine s koordinatama (x',y'), koje računamo na sljedeći način:

x' = a x + b y

y' = c x + d y.

Koeficijenti a, b, c i d su unaprijed zadani realni brojevi. Odabiru se po volji i grupiramo ih u matricu A:

Gornju transformaciju možemo kraće prikazati kao preslikavanje (linearni operator) A : R² --> R² opisano s:

v' = Av,

• Ako uzmemo kanonsku bazu i = (1,0)^T, j = (0,1)^T u ravnini R², onda je
  Ai = ai + cj,
  Aj = bi + dj.

  Komponente vektora Ai i Aj (u kanonskoj bazi) su prema tome upravo vektori stupci matrice A, pa možemo uvjetno pisati da je A = [Ai,Aj].

Matrične transformacije ćemo ilustrirati tako da uzmemo neki lik u lijevom prozorčiću s koordinatnim sustavom (x,y) i pogledamo u što se on preslikava u desnom prozorčiću s koordinatnim sustavom (x',y').

• Tvrtko Bedeković:

• Borko Jandras:

Primijetite da paralelogram P u lijevom prozoru uvijek prelazi u paralelogram P' u desnom.

S obzirom na regularnost matrice A imamo ove dvije mogućnosti.

• Matrica A je regularna, tj. det A nije nula. U tom je slučaju transformacija ravnine bijektivna, i obratno. Ako transformiramo neki lik u ravnini (x,y), svi će "bitni" detalji nakon preslikavanja ostati sačuvani. Bijektivnost transformacije znači da nema lijepljenja različitih točaka u istu točku (injektivnost) i da su sve točke u dolaznoj ravnini pogođene (surjektivnost).

• Ako je determinanta matrice jednaka nuli, tj. det A = 0, dolazi do drastične promjene slike. Rang matrice je strogo manji od maksimalnog, tj. r(A) < 2. Moguća su dva slučaja:
  • r(A) = 1. Ako je rang matrice A jednak 1, preslikani skup je jednodimenzionalan. Točnije, cijela ravnina transformira se u neki pravac kroz ishodište. To će se dogoditi kada svi koeficijenti nisu jednaki nuli, i redci su proporcionalni s istim faktorom proporcionalnosti, tj. a/c = b/d (jer je to ekvivalentno s det A = ad - bc = 0). Isto vrijedi i za stupce.
    • Npr. za a = b = 1, c = d = 2, tj.

      A =

      1 1 2 2

      je x' = ax + by = x + y, y' = cx + dy = 2(x + y) = 2x'. Cijela ravnina se preslikava u pravac y' = 2x' i to je slika matrice A. Dimenzija slike jednaka je upravo rangu matrice, tj. ovdje je r(A) = 1. Nul-potprostor (ili jezgra) matrice A definira se kao skup rješenja jednadžbe Av = 0. Taj skup je za ovu matricu pravac y = -x :

    

    Koordinatni sustav x', y' se u gornjem appletu podudara s koordinatnim sustavom x, y. Vektor v zadaje se povlačenjem miša s pritisnutom lijevom tipkom. Nakon toga se za svaki vektor v skoro istoga trenutka izračunava vrijednost vektora Av.

  • r(A)=0. Ako je rang jednak nuli, cijela se ravnina preslika u ishodište. To odgovara slučaju kad su svi koeficijenti matrice jednaki nuli, tj. A je nul-matrica. Sve informacije o početnom liku su izgubljene.

    A =

    0 0 0 0

    

    Nul-potprostor matrice A = 0 je cijela ravnina, tj. N(A) = R², a slika od A je nul-potprostor, tj. nul-vektor.

Primijetite da će slučajnim odabirom svojih četiriju koeficijenata matrica A skoro sigurno biti regularna (tj. skoro sigurno će det A biti različita od nule). Točnije, može se pokazati da je vjerojatnost da slučajnim odabirom četiriju matričnih koeficijenata dobivena matrica A bude regularna (tj. det A nije nula) jednaka jedan.

Pogledajmo neke specijalne tipove matričnih transformacija ravnine.

• Homotetija. Ovdje je b = c = 0, tj. matrica A je dijagonalna:

  A =

  a 0 0 d

  Determinanta matrice A je umnožak dijagonalnih elemenata, tj. ad.
  • Za d = 1, slobodnim odabirom koeficijenta a dobivamo homotetiju u smjeru osi x:

    A =

    a 0 0 1

    • Za a = d = 1 dobivamo jediničnu matricu I, a pripadna transformacija je identiteta, koja ne mijenja ništa:

      I =

      1 0 0 1

      

    • Za |a| < 1 dobivamo kontrakciju (stezanje) u smjeru osi x,
    • dok za |a| > 1 dobivamo dilataciju (rastezanje).
    • Za a = 0 imamo stezanje ravnine na os y, tj. ortogonalnu projekciju ravnine na os y:

      A =

      0 0 0 1

      

      Nul-potprostor matrice A je os x, a slika je os y.

    • Za a = -1 dobiva se zrcaljenje ravnine s obzirom na os y:

      A =

      -1 0 0 1

    

  • Slično, za a = 1 slobodnim odabirom koeficijenta d dobivamo homotetiju u smjeru osi y:

    A =

    1 0 0 d

    • Za |d| < 1 imamo kontrakciju u smjeru osi y,
    • a za |d| > 1 dilataciju.
    • Za d = 0 dobijemo ortogonalnu projekciju ravnine na os x:

      A =

      1 0 0 0

      

      Nul-potprostor matrice A je os y, a slika je os x.

    • a za d = -1 zrcaljenje s obzirom na os x:

      A =

      1 0 0 -1

    

  • Moguća je i dvostruka homotetija, kada uzimamo b = c = 0, a c i d su slobodni (dijagonalna matrica A = diag (a,d)).
    • Za c = d dobivamo matricu A = cI, a pripadna transformacija je homotetija ravnine s faktorom c (svi vektori lijevog prozora množe se tom konstantom).
    • Za c = d = -1 dobivamo centralnu simetriju:

      A =

      -1 0 0 -1

      

    • Dijagonalnom matricom se svaka kružnica sa središtem u ishodištu preslika u elipsu, takvu da se okomita i vodoravna poluos elipse odnose kao ^|d|/_|a|. Ako je kružnica jedinična, duljine poluosi elipse su točno |d| i |a| (pogledajte transformaciju smješka ili paške čipke). Evo jednog primjera:

      A =	-2.5 0 0 0.7

      

      Može se pokazati da svaka regularna matrica preslikava kružnicu u elipsu, samo što osi elipse neće uvijek biti paralelne s koordinatnim osima.

• Zakošenje. Matrica A je trokutasta, s jedinicama na dijagonali. Determinanta je jednaka umnošku dijagonalnih elemenata, tj. 1.
  • Odabiremo c = 0, a = d = 1:

    A =

    1 b 0 1

    
    • Za b > 0 dobivamo vodoravno zakošenje prvog kvadranta u desno (kao gore),
    • a za b < 0 zakošenje prvog kvadranta u lijevo:
      

  • Uz odabir koeficijenata b = 0, a = d = 1:

    A =

    1 0 c 1

    • za c > 0 dobivamo vertikalno zakošenje prvog kvadranta prema gore:
      

    • a za c < 0 dobivamo vertikalno zakošenje prvog kvadranta prema dolje:
      

• Ortogonalne matrice su matrice koje čuvaju duljinu vektora. Pokazuje se da onda čuvaju i okomitost vektora. Vektori stupci su im ortonormirani, tj. jedinični i okomiti (vjerovali ili ne, isto vrijedi i za vektore retke!). Postoje samo dvije vrste ortogonalnih matrica reda 2: to su matrica rotacije i matrica zrcaljenja s obzirom na pravac kroz ishodište.
  • Rotacija. Zakret za kut s u pozitivnom smjeru (tj. suprotno od smjera gibanja kazaljke na satu) oko ishodišta dobivamo tako da stavimo a = cos s, b = -sin s, c = sin s, d = cos s.

    A =	cos s -sin s sin s cos s

    Ako je A matrica rotacije, onda je det A = 1, jer je
    det A = ad - bc = (cos s)² + (sin s)² = 1.

    Rotacija ravnine za 180 stupnjeva oko ishodišta isto je što i centralna simetrija ravnine s obzirom na ishodište.

    • Rotaciji za kut s = 90 stupnjeva odgovara tzv. matrična imaginarna jedinica J, kod koje je a = 0, b = -1, c = 0, d = 1:

      J =

      0 -1 1 0

      

      Njezin naziv je jasan, jer vrijedi J² = - I.

  • Zrcaljenje. Ako želimo zrcaliti ravninu s obzirom na bilo koji pravac kroz ishodište, y = kx, najprije nađemo pripadni kut s = arc tg k, te računamo matrične koeficijente a = cos 2s, b = sin 2s, c = sin 2s, d = -cos 2s:

    A =	cos 2s sin 2s sin 2s -cos 2s

    Ako je A matrica zrcaljenja, onda je det A = -1, jer je

    det A = ad - bc = -(cos 2s)² - (sin 2s)² = -1.

    U programima za vizualizaciju unosi se samo kut s, nakon čega se obavlja zrcaljenje s obzirom na pravac y = (tg s) x.

• Nekomutativnost množenja matrica lako je ilustrirati na ovom geometrijskom primjeru. Neka je A matrica zakošenja s parametrom b koji nije nula (tako da je Ai = i i Aj = bi + j), i J matrica rotacije za 90 stupnjeva (tako da je Ji = j i Jj = -i). Onda je AJi = Aj = bi + j, ali JAi = Ji = j. Dakle, matrica AJ nije jednaka JA.

• Svaki kompleksni broj z = x + iy može se poistovjetiti s matricom A kod koje stavljamo a = x, b = -y, c = y, d = x:

  A =

  x -y y x

  

  tj. A = xI + yJ, gdje je J matrična imaginarna jedinica, J² = -I. Time smo dobili pridruživanje

  x + iy --> xI + yJ

  iz skupa kompleksnih brojeva C u skup matrica reda dva, M_2,2. Jasno je da zbroju dvaju kompleksnih brojeva odgovara zbroj pripadnih matrica. Zanimljivo je da i umnošku dvaju kompleksnih brojeva odgovara umnožak pripadnih matrica. Naime, za kompleksne brojeve vrijedi:

  (x + yi)(u + vi) = (xu - yv) + (xv + yu)i,

  kao i za pripadne matrice:

  (xI + yJ)(uI + vJ) = (xu - yv)I + (xv + yu)J,

  gdje su x, y, u, v zadani realni brojevi, a i je imaginarna jedinica, i² = -1.
  • Za gore navedenu matricu A = xI + yJ pripadna geometrijska transformacija lijevog prozora sastoji se od kompozicije ovih dviju transformacija:
    • homotetije ravnine s faktorom r = (x² + y²)^1/2, tj. svaki vektor se množi s r;
    • rotacije za kut s = arc tg (y/x).
    Primijetite da je x + iy = r e^is (Eulerova formula), x = r cos s, y = r sin s.
    • Ako je r = 1, matrica A = xI + yJ daje samo rotaciju za kut s, tj. x = cos s i y = sin s, i to je u skladu s prethodnom diskusijom o ortogonalnim matricama (vidi rotaciju).

• Ako zamislimo da početni lik u lijevom prozoru ima osnovicu i visinu duljine 1, onda je pripadni vektor osnovice jednak i, a vektor visine je j. Vektor osnovice početnog lika (x = 1, y = 0) preslika se u vektor ai + cj (jer x' = ax + by = a, y' = cx + dy = c), a vektor visine (x = 0, y = 1) transformira se u bi + dj (jer je tu x' = b, y' = d). Transformirani lik je paralelogram, a njegova površina P' dobiva se računanjem apsolutne vrijednosti vektorskog produkta vektora pripadnih stranica:

  P' = |(ai + cj) x (bi + dj)| =
  = |(ad - bc)k| = |ad - bc| =
  = |det A|.

  Drugim riječima, ako je u lijevom prozoru jedinični kvadrat, on će se transformirati u paralelogram u desnom prozoru, površine točno |det A|.
  • Ako je matrica A gornja trokutasta, tj. c = 0,

    A =

    a b 0 d

    onda uz pretpostavku da je P jedinični kvadrat vrijedi P' = |det A| = |ad| (determinanta gornje trokutaste matrice je umnožak dijagonalnih elemenata matrice A). Vrijednost površine paralelograma P' ne ovisi o koeficijentu zakošenja b. To je u vezi s time što je površina paralelograma jednaka umnošku osnovice |a| i visine |d|.

• Površina P početnog lika (u lijevom prozoru) i površina P' transformiranog lika (u desnom prozoru) povezane su ovako:

  P' = |det A| P.

  Ta činjenica je specijalan slučaj formule za zamjenu varijabli u dvostrukom integralu, koja uključuje pojam Jacobijana. Doista, Jacobijan J(f,g) funkcije iz R² u R² zadane komponentnim funkcijama

  x' = f(x,y)

  y' = g(x,y)

  za linearnu transformaciju f(x,y) = ax + by i g(x,y) = cx + dy jednak je točno

  J(f,g) = det A.

  Podsjetimo se, Jacobijan se definira pomoću determinante matrice parcijalnih derivacija prvog reda:

  J(f,g) = det

  Dx' f Dy' f Dx' g Dy' g

  Zanimljivo je da formula P' = |det A| P vrijedi i za bilo koji omeđen lik površine P u lijevom prozoru, ne samo za paralelogram. To slijedi odmah iz formule za zamjenu varijabli u dvostrukom integralu.

• Vektori kanonske baze i i j u lijevom prozoru određuju tzv. desni koordinatni sustav (tu je i poredak vektora i i j bitan; vidi [Elezović], Odjeljak 5.3). Vektori j i i određuju lijevi koordinatni sustav (u tom poretku). Ako je matrica A regularna, onda i preslikani vektori i' = Ai i j' = Aj čine bazu u desnom prozoru, i to:
  • ako je det A > 0, onda vektori i' i j' određuju također desni koordinatni sustav (u tom poretku);
  • ako je det A < 0, onda vektori i' i j' određuju lijevi koordinatni sustav.
  Na slici se to jasno vidi. Ako je det A < 0, lik u desnom prozoru ima promijenjenu orijentaciju u odnosu na lik u lijevom prozoru. Ako je det A > 0, orijentacija lika ostaje ista.

• Za vektor v kažemo da je vlastiti (svojstveni) vektor kvadratne matrice A ako je različit od nul-vektora i postoji realan (ili kompleksan) broj r takav da je Av = rv. Taj broj r zove se vlastita (svojstvena) vrijednost matrice.
  • Ako postoji netrivijalan vektor v takav da je paralelan s vektorom Av, onda je on vlastiti vektor matrice A, jer to znači da vrijedi Av = rv za neki realan broj r. Taj r je onda upravo pripadna vlastita vrijednost.
  • Pogledajmo kao primjer ovu matricu:

    B =

    -1 0 0 2

    

    Za nju vrijedi Bi = -i i Bj = 2j. Prema tome, vlastite vrijednosti ove matrice su -1 i 2. Vlastiti potprostor za r = -1 je os x, a vlastiti potprostor za r = 2 je os y.

  • Odredite vlastite vrijednosti i pripadne vlastite potprostore najprije "eksperimentalno", a zatim računom (za ovo drugo će vam trebati olovka i papir, a ne miš :) ):

    A =

    -1 1 0 2

    

    Vlastite vrijednosti su -1 i 2, a pripadni vlastiti vektori su i i i + 3j.

  • Odredite eksperimentalnim putem realne vlastite vektore i pripadne vlastite potprostore za sve matrice na ovoj internetskoj stranici (vrlo je lagano).

  • Uvjerite se eksperimentalno da matrica rotacije ravnine za 90 stupnjeva nema realnih vlastitih vrijednosti.
    • Mali račun pokazuje da su njezine svojstvene vrijednosti i = (-1)^1/2 i -i. To su, naime, nul-točke karakterističnog polinoma k(r) = r² + 1. Podsjetimo se, karakteristični polinom matrice A definira se kao k(r) = det (rI - A).

  • Algebarska kratnost vlastite vrijednosti r matrice A definira se kao kratnost nul-točke r karakterističnog polinoma k(r). Geometrijska kratnost vlastite vrijednosti r definira se kao dimenzija pripadnog vlastitog potprostora.
    • U prethodna dva primjera algebarska i geometrijska kratnost obiju vlastitih vrijednosti je 1.
    • Jedine matrice reda 2 kod kojih su geometrijska i algebarska kratnost jednake 2, oblika su A = rI.
      • Npr., geometrijska i algebarska kratnost vlastite vrijednosti je 2 kod jedinične matrice A = I (jedina vlastita vrijednost je r = 1), matrice centralne simetrije A = -I, (vlastita vrijednost je r = -1), i nul-matrice A = 0 (vlastita vrijednost je r = 0).
    • Matrica zakošenja ima vlastitu vrijednost 1 algebarske kratnosti dva, ali geometrijske kratnosti jedan ako koeficijent zakošenja nije nula. Naime, pripadni vlastiti potprostor je jednodimenzionalan: os x.
  • Za matricu A kažemo da je slična matrici B ako postoji regularna matrica T takva da je
    B = T^-1AT.
    • Matrica A slična je nekoj dijagonalnoj matrici B onda i samo onda ako postoji baza sastavljena od vlastitih vektora matrice A. Kažemo da se matrica A može dijagonalizirati (u toj bazi). Matrica prijelaza T dobije se kao matrica prijelaza iz kanonske baze u tu bazu, tj. vektori stupci matrice T su upravo vlastiti vektori matrice A prikazani u kanonskoj bazi. Ako su sve vlastite vrijednosti realne i međusobno različite, onda se matrica može dijagonalizirati.
      • Svaka simetrična matrica slična je dijagonalnoj. Njezine vlastite vrijednosti su realne i postoji ortonormirana baza vlastitih vektora. Prema tome, matrica sličnosti koja dijagonalizira simetričnu matricu može se odabrati da bude ortogonalna matrica (vektori stupci joj čine ortonormiranu bazu). Evo jednog primjera:

        A =

        -1 1 1 0

        

        Kružnica u ravnini sa središtem u ishodištu simetričnom matricom preslikava se uvijek u elipsu. Glavne osi elipse su vlastiti potprostori simetrične matrice (ucrtani zelenom bojom). Omjer duljina poluosi elipse jednak je |r₁/r₂|, gdje su r_1,2 vlastite vrijednosti matrice. Matrica A je slična matrici B = diag (r₁, r₂). U ovom primjeru je

        r₁ = (-1-5^1/2)/2 = -1.618...,
        r₂ = (-1+5^1/2)/2 = 0.618...,

        a pripadni vlastiti vektori su

        v₁ = ((-1-5^1/2)/2, 1)^T,
        v₂ = ((-1+5^1/2)/2, 1)^T.

        Vlastiti vektori su okomiti: (v₁|v₂) = 0. Matrica sličnosti je S = [w₁, w₂], gdje su vektori stupci w₁ i w₂ normirani vlastiti vektori od A (prema tome matrica T je ortogonalna, tj. S^-1 = S^T, vidi [Elezović]):

        w₁ = v₁ / |v₁|, w₂ = v₂ / |v₂|.

        Drugim riječima, S^-1AS = diag (r₁, r₂).

        • Jedinična (plava) kružnica x² + y² = 1 preslika se u (kosu, crvenu) elipsu
          x'² + 2y'² - 2x'y' = 1.

          Njezina jednadžba u prirodnom (zelenom) koordinatnom sustavu glasi

          (x''/r₁)² + (y''/r₂)² = 1

        Na lijevoj strani je kvadratna forma generirana simetričnom matricom A^-2 = [{0, 1}, {0, 1}] * [{0, 1}, {0, 1}] = [{1, 1}, {1,2}]. Doista, uz pretpostavku da je simetrična matrica A regularna, iz v' = Av dobivamo

        1 = (v|v) = (A^-1v'|A^-1v') = ((A^-1)^TA^-1v'|v') = (A^-2v'|v').

        Vlastite vrijednosti matrice A^-2 su r_i^-2, a vlastiti vektori isti kao kod A.

        Pogledajte kao dodatnu ilustraciju

        • elipsu u koju se preslika smješko ili paška čipka (odaberite ih u meniju) ovom matricom A,
        • primjer dijagonalne matrice.

    • Matrica zakošenja nije slična dijagonalnoj (tj. ne može se dijagonalizirati) ako koeficijent zakošenja b nije nula. Doista, algebarska i geometrijska kratnost vlastite vrijednosti 1 za tu se matricu ne podudaraju:
      • algebarska kratnost je dva, jer k(r) = (r-1)²,
      • a geometrijska kratnost iznosi samo jedan (i to se lijepo vidi na slici).

    • Matrice A i B iz dvaju gore navedenih primjera su slične. Vlastiti vektori matrice A su i = 1i + 0j i i + 3j, pa je matrica prijelaza koja dijagonalizira matricu A jednaka

      T =

      1 1 0 3

      tj. T^-1AT = B. Matrica A nije simetrična. Primijetite da joj (za razliku od simetričnih matrica) vlastiti vektori koji pripadaju različitim vlastitim vrijednostima nisu međusobno okomiti.

Literatura

1. Neven Elezović: Linearna algebra, Element, Zagreb
2. Andreja Aglić, Neven Elezović: Zbirka zadataka iz linearne algebre, Element, Zagreb
3. Neven Elezović: Kompleksni brojevi, Element, Zagreb
4. Svetozar Kurepa: Uvod u linearnu algebru, Školska knjiga, Zagreb
5. Darko Žubrinić: Linearna algebra, poslijediplomski studij FER-a, (skripta), Element, Zagreb
6. Linearna algebra na webu, http://www.zpm.fer.hr/~darko/darko.html#la