1. Uvod: što su to fraktali?

U sklopu kolegija "Uvod u matematičku teoriju kaosa za inženjere", koji se predaje na Fakultetu elektrotehnike i računarstva u Zagrebu pod vodstvom prof.dr.sc.Mervana Pašića, upoznali smo se sa pojmom fraktalne dimenzije i sa metodama njenog računanja na primjerima klasičnih fraktala. U ovom radu ćemo prikazati vlastiti program za eksperimentalno određivanje fraktalne dimenzije klasičnih oblika fraktala kao i skupova fraktalnog tipa, a koji se pojavljuju u prirodi. Pomoću programa moguće je na interaktivan način odrediti fraktalnu dimenziju svih poznatijih fraktala, ali moguće je odrediti i aproksimaciju fraktalne dimenzije nekog otoka, dijela obale ili bilo koje slične razlomljene linije.

Tipičan primjer fraktala u prirodi je izgled bilo koje obale. Kad joj dužinu mjerimo sa npr. štapovima različitih dužina dobiti ćemo različite rezultate. Štapom najveće dužine izmjeriti ćemo najmanju dužinu te obale. Kraćim štapom izmjeriti ćemo veću dužinu obale jer ćemo mjerenjem uzeti u obzir i manje krivudavosti obalne linije (Slika 1). Najmanjim štapom (npr. kada bi uzeli štap dužine zrna pijeska ili čak dužine jednog atoma) izmjeriti ćemo najveću dužinu obale. To je tzv. paradoks dužine obale. Neke pretpostavke smatraju kako je i sama materija fraktalne prirode. To bi značilo da se atom sastoji od manjih čestica, te manje čestice se sastoje od još manjih čestica i tako dalje do u beskonačnost. U tom slučaju ne bi postojao najmanji "štap” kojim bismo mogli mjeriti dužinu obale jer bi uvijek mogli uzeti još manji. Tada bi dužina bilo koje obale bila beskonačna. Ali ne samo to, nego bi i duljina obale između bilo koje dvije točke na toj obali, ma koliko one bile blizu jedna druge, bila beskonačna.

Slika 1: Mjerenje dužine obale štapovima različitih dužina

Pretpostavlja se da je i cijeli svemir fraktalne prirode. Kao što su zvijezde organizirane u galaksije na principu gravitacije, tako su i galaksije organizirane u grupe, grupe u jata i superjata, a superjata u tzv. LSS (large-scale structure). To je moguće jer zakon gravitacije ima oblik 1/r^2, tj. scale-invariant je (neovisan o skali). Međutim, vrlo je upitno kolika je fraktalna dimenzija LSS-a.

Postoji još mnogo primjera fraktala u prirodi koja nas okružuje. Sve su to oblici koji se nikako ne mogu aproksimirati pravilnim matematičkim tijelima: planine, stabla, oblaci, jezera i još mnogi drugi.

Otac fraktala je francuski matematičar Benoit Mandelbrot. Početkom 70-ih godina prošlog stoljeća opisao je matematiku koja nam danas pomaže pri analizi nepravilnosti u svijetu. Nove objekte nazvao je fraktali. Taj naziv dolazi od latinske riječi fractus, što znači razlomljen, slomljen, polomljen. Mandelbrot je dao i najprecizniju definiciju fraktala: “fraktali su geometrijske strukture (skupovi točaka) čija je fraktalna dimenzija veća nego topološka dimenzija”. O fraktalnoj dimenziji bit će više riječi u slijedećem poglavlju. Osim te definicije, može se reći da su fraktali geometrijski oblici koji imaju 3 važna svojstva: sličnost samome sebi (engl. self-similarity), fraktalnu dimenziju (engl. fractal dimension) i oblikovanje iteracijom (engl. formation by iteration). Sličnost samome sebi je svojstvo objekta da sliči sam sebi bez obzira koji njegov dio promatrali i koliko ga puta uvećali. Uvijek ćemo dobiti sliku koja sliči početnoj. Fraktalna dimenzija se naziva još i razlomačka dimenzija zato što ona ne mora biti cijeli broj, kao što je to npr. Euklidska dimenzija. Fraktalna dimenzija je u većini slučajeva razlomak koji opisuje i neka svojstva objekta kao što su izlomljenost i hrapavost. Specifično za fraktalnu dimenziju je to da ona ostaje konstantna bez obzira na mjerilo. Detaljnije objašnjenje fraktalne dimenzije nalazi se u sljedećem poglavlju. Oblikovanje iteracijom je svojstvo da se objekt može generirati nekim računskim ili geometrijskim postupkom koji se uzastopno ponavlja. Uglavnom postoji početni objekt (engl. initiator) u kojeg se iterativno ugrađuju svojstva generatora (engl. generator).

2. Dimenzije

2.1 Euklidska dimenzija

Likovi klasične, Euklidske geometrije su točka, linija, ploha i tijelo. Točka ima dimenziju 0 jer nema niti jedan stupanj slobode, tj. nema ni dužinu ni širinu ni visinu. Linija ima dimenziju 1 jer ima 1 stupanj slobode. To je dužina koja može biti i beskonačna, a nema širinu i visinu. Ploha ima 2 stupnja slobode, dužinu i širinu, a nema visinu. Dakle, dimenzija plohe je 2. Tijelo ima 3 stupnja slobode u Euklidskom prostoru: širinu, dužinu i visinu, dakle dimenzija mu je 3.

Kako matematički odrediti dimenziju?

Uzmimo liniju (jednodimenzionalni objekt) proizvoljne duljine i podijelimo ju na 4 manje linije jednakih duljina:

Uzmimo sada neki dvodimenzionalni objekt, npr. kvadrat i podijelimo ga na 16 manjih jednakih kvadrata:

I na kraju uzmimo trodimenzionalni objekt, npr. kocku i podijelimo ju na 64 manje jednake kocke:

Označimo sa r omjer kraće i duže stranice. U sva 3 primjera je r jednak 1/4 jer je kraća linija, odnosno kraća stranica kvadrata ili kocke, 4 puta kraća od duže linije, odnosno duže stranice kvadrata ili kocke. Označimo sa N broj manjih elemenata (linija, pravokutnika ili kocaka). N za prvi primjer (liniju) je 4, jer smo početnu liniju podijelili na 4 manje linije. Za drugi primjer (kvadrat) N je 16, a za treći primjer (kocku) N je 64. Možemo uočiti da općenito za N, r i dimenziju objekta D vrijedi:

Ako gornju formulu podijelimo sa r^D, a zatim logaritmiramo i izrazimo dimenziju D dobiti ćemo:

Ta nam formula za sve prethodne primjere daje dobre rezultate:

Za liniju: D = ln(4)/ln(4) = 1

Za kvadrat: D = ln(16)/ln(4) = 2

Za kocku: D = ln(64)/ln(4) = 3

Zaključak

Neke stvari u svijetu oko sebe možemo dobro definirati pomoću 3 dimenzije klasičnog Euklidskog prostora. Na slici 2 prikazani su neki takvi primjeri: vlak koji se kreće po tračnicama ima samo jedan stupanj slobode, kreće se u jednoj dimenziji. Jedrilica koja plovi na površini jezera kreće se u dvodimenzionalnom prostoru. Jedino zrakoplov ima sva 3 stupnja slobode, tj. može se kretati u bilo kojem smjeru unutar trodimenzionalnog prostora.

Slika 2: Primjeri dimenzija i stupnjeva slobode u svijetu oko nas

Pogledajmo sljedeći primijer (Slika 3): koliko dimenzija ima ravna aluminijska folija? Odgovor na to je jednostavan: aluminijska folija je ploha i ima 2 dimenzije. Međutim, što ako zgužvamo tu aluminijsku foliju i napravimo od nje kuglu? Koliko sada dimenzija ima ta aluminijska folija? 2? 3? Ili možda nešto između?

Slika 3: Problem dimenzije aluminijske folije

Osim navedenog problema postoji još mnogo sličnih: Kolko dimenzija ima spužva koja jest tijelo, ali je iznutra šupljikava pa ne popunjava cijeli svoj volumen? Koje je dimenzije izlomljena linija koja je u nekom koraku iterativnog postupka dio nekog fraktala? Koja je dimenzija nekog dijela obale? Odgovori na ta i mnoga slična pitanja ne leže u klasičnom Euklidskom prostoru. Dimenzije takvih objekata nisu cijeli brojevi, već razlomci. Stoga im moramo izračunati fraktalnu dimenziju.

2.2 Fraktalna dimenzija

Kao što je već prije napomenuto fraktalna se dimenzija naziva još i razlomačka dimenzija jer ona ne mora nužno biti cijeli broj. Ona opisuje neka svojstva predmeta kao što su izlomljenost, hrapavost i slično. Fraktalna dimenzija (tj. stupanj nepravilnosti) ostaje konstantna bez obzira na mjerilo, što se u prirodi vrlo često pokazuje točnim (tipičan primjer su obalne crte nekog otoka koje imaju fraktalna obilježja). Fraktalnu dimenziju možemo odrediti formulom:

d = log(m) / log(r)

gdje se objekt (skup) sastoji od m kopija samog sebe umanjenih za faktor r. Ova definicija vrijedi samo za sebi slične skupove. Za širu klasu skupova mogu se upotrijebiti Haussdorffova i “kutijska” dimenzija (box dimension).

Primjeri izračunavanja fraktalnih dimenzija

1. Cantorova prašina

Cantorova prašina je jedan od najpoznatijih fraktala. Nastaje tako da se početnoj liniji (initiatoru) ukloni srednja trećina. Rezultat toga su 2 linije od kojih svaka ima dužinu jednaku 1/3 dužine početne linije. Prethodno opisani korak se ponavlja na novonastalim linijama. U slijedećem koraku ćemo dobiti 4 linije od kojih je svaka 3 puta kraća od linija u prošlom koraku, odnosno 9 puta kraća od početne linije. Taj se postupak ponavlja do u beskonačnost. Dakle, Cantorova prašina se može dobiti iterativnim postupkom. To je jedan od tri osnovna preduvjeta da bi neki objekt bio fraktal. Slijedeći preduvjet koji objekt mora zadovoljavati je sličnost samome sebi. To je ovdje osigurano, budući da je linija uvijek slična bilo kojoj drugoj liniji. Zadnje od tri svojstva fraktala je fraktalna dimenzija. Da bi odredili fraktalnu dimenziju Cantorove prašine prema ranije navedenoj formuli d = log(m) / log(r) moramo odrediti parametre m i r. m je broj kopija početne linije od kojih je svaka linija umanjena za parametar r. Ako promatramo linije u nekom n-tom koraku iterativnog postupka tada je svaka linija 3 puta manja od one u prethodnom (n-1)-vom koraku iterativnog postupka. Npr. dužina linija u prvom koraku je 3 puta manja od dužine linije u nultom koraku, dužina linija u drugom koraku je 3 puta manja od dužine linija u prvom koraku itd. Dakle, parametar r je jednak 3. Svaka od linija se u svakom slijedećem koraku dijeli na 2 manje linije, što znači da je parametar m jednak 2. Dimenzija dakle iznosi:

d = log(m) / log(r) = log(2) / log(3) = 0.6309

Dobivena dimenzija zadovoljava i Mandelbrotovu definiciju fraktala, a to je da su fraktali geometrijske strukture čija je fraktalna dimenzija veća nego topološka dimenzija. Topološka dimenzija Cantorove prašine bila bi jednaka nuli, budući da bi beskonačnim razdjeljivanjem linije dobili skup točaka kojima je dimenzija jednaka 0. Fraktalna dimenzija Cantorove prašine je 0.6309 što je veće od 0, dakle Cantorova prašina je fraktal.

2. Kochova krivulja

Kochova krivulja nastaje tako da se umjesto srednje trećine početne linije konstruira jednakostranični trokut bez donje stranice. Dužina svake stranice trokuta je upravo jednaka 1/3 dužine početne linije, a kako je trokut jednakostraničan kutevi među svim stranicama trokuta iznose 60 stupnjeva. Da bismo dobili sliku koja je prikazana u druom koraku, opisani postupak treba ponoviti sa svakom linijom iz prvog koraka. I tako dalje do u beskonačnost. Specifično za Kochovu krivulju je da joj je opseg beskonačan, a površina koju omeđuje je konačna. Svaka linija iz neke n-te iteracije se u sljedećoj (n+1)-voj iteraciji kopira u 4 linije (m = 4), od kojih je svaka linija manja 3 puta od one početne (r = 3). Uvrštavanjem u formulu za dimenziju dobivamo:

d = log(m) / log(r) = log(4) / log (3) = 1.2618595

Fraktalna dimenzija Kochove krivulje je kao i kod Cantorove prašine veća od topološke dimenzije. Kako je Kochova krivulja linija, topološka dimenzija bi joj iznosila 1, a to je manje od njene fraktalne dimenzije.

3. Sierpinski trokut

Sierpinski trokut nastaje tako da se početnom jednakostraničnom trokutu upiše jedan manji jednakostranični trokut koji će početni trokut podijeliti na 4 jednakostranična trokuta. Srednji trokut (jedini kojemu treći vrh "gleda" prema dolje) se izbaci, a sa preostala 3 trokuta se nastavlja iterativni postupak. Svakom od ta 3 manja trokuta se ponovno upisuje jednakostranični trokut koji ih svakog dijeli na 4 nova trokuta i ponovno se izbacuje srednji trokut iz svakog. Dakle, u svakom koraku iterativnog postupka od jednakostraničnog trokuta odbacujemo njegov središnji, također jednakostranični, trokut. U nekom (n+1)-vom koraku je dužina stranice trokuta 2 puta manja nego u n-tom koraku, a svaki od trokuta se kopira u 3 svoje manje kopije. Dakle, r = 2, a m = 3.

d = log(m) / log(r) = log(3) / log(2) = 1.585

4. Minkowski fraktal

Postupak konstrukcije Minkowski fraktala i proračuna njegove fraktalne dimenzije je vrlo sličan postupku kod Kochove krivulje. Razlika je u generatoru, odnosno u motivu čija se svojstva u svakom koraku ugrađuju u početni objekt, tj. u liniju. Izgled generatora vidljiv je na slici u koraku broj 1, jer je u tom koraku u početnu liniju (korak 0) svojstvo generatora ugrađeno tek jedan put. U svaku novonastalu liniju se ponovno ugrađuju svojstva generatora i tako nastaju korak 2, 3, 4, itd. U nekom (n+1)-vom koraku linije su 4 puta manje nego u n-tom koraku, a svaka linija iz n-tog koraka se kopira u 8 manjih linja u (n+1)-vom koraku. Dakle r = 4, a m = 8. Dimenzija je:

d = log(m) / log(r) = log(8) / log(4) = 1.5

5. Peanova krivulja

Generator Peanove krivulje prikazan je na gornjoj slici u koraku 1. Radi lakšeg snalaženja označeni su smjerovi svake linije generatora. Nakon što se od početne linije konstruira generator, koji se sastoji od 9 linija (m = 9) od kojih je svaka manja 3 puta od početne linije (r = 3), možemo dobiti drugi korak iterativnog postupka tako da se nad svakom od 9 linija iz prvog koraka ponovno konstruira generator. Dimenzija iznosi:

d = log(m) / log(r)d = log(9) / log (3) = 2

Peanova krivulja ima topološku dimenziju 1 a fraktalnu dimenziju 2. To je primjer krivulje koja jest fraktal jer joj je fraktalna dimenzija veća od topološke, a fraktalna dimenzija joj je ipak cjelobrojna, a ne razlomak, i iznosi 2. To je zato što ova krivulja, kako broj iteracija teži u beskonačnost, nastoji prekriti cijelu površinu.

3. Eksperimentalno određivanje fraktalne dimenzije linije

3.1 Opis rada programa

Gornja slika prikazuje izgled prozora programa. Svi bitni dijelovi programa označeni su brojevima (1) do (9). Za dodatna uputstva o korištenju programa kliknite na (1) Pomoć. U nastavku će objašnjenje rada programa biti demonstrirano određivanjem fraktalne dimenzije Kochove krivulje.

Program za računanje fraktalne dimenzije koristi formulu d = log(P) / log(S). S je omjer veće i manje stranice, a P je omjer broja linija u (n+1)-voj iteraciji i n-toj iteraciji. U polju sa parametrima (3) prije početka rada sa programom potrebno je upisati početnu duljinu linije i S, tj. omjer veće i manje linije. Na primijer, ako u polju sa parametrima (3) upišemo za dužinu linije 100, a za S upišemo 4, to znači da ćemo u n-toj iteraciji koristiti liniju dužine 100 pixela, a u (n+1)-voj iteraciji liniju dužine 25 pixela, zato što je S = 4, a 100 / 4 = 25. Dakle S zadajemo sami, a P ćemo dobiti nakon što neku liniju ili fraktal pređemo prvo sa linijom veće dužine, a zatim i sa linijom manje dužine. Na primijer, ako u n-toj iteraciji liniju ili fraktal prijeđemo sa 3 duže linije, a u (n+1)-voj iteraciji sa 15 linija koje su S puta kraće, tada P iznosi: P = 15 / 3 = 5. Za navedeni primijer S iznosi 4, a P iznosi 5. U tom slučaju bi fraktalna dimenzija bila d = log(P) / log(S) = log(5) / log(4) = 1.16.

3.2 Određivanje fraktalne dimenzije Kochove krivulje pomoću programa

Da bi odredili fraktalnu dimenziju Kochove krivulje pomoću programa potrebno je učiniti slijedeće:

1. Učitati sliku Kochove krivulje klikom na gumb za učitavanje slike (2). Nakon pritiska na gumb u izborniku treba odabrati sliku (u jpg ili bmp formatu) koju treba učitati. Ta će se slika prikazati u okviru za sliku u središnjem dijelu prozora programa. Ovaj korak nije nužan ali će olakšati daljnji rad sa programom. Kochova krivulja je relativno jednostavna, ali za neke složenije linije (npr. linije neke obale ili otoka) gotovo da je nemoguće odrediti fraktalnu dimenziju bez slike te linije. Nakon učitavanja slike prozor programa izgleda kao na slici dolje.

2. Da bi odredili fraktalnu dimenziju nekog fraktala potrebno je uzeti 2 susjedne iteracije: n-tu i (n+1)-vu. U konkretnom slučaju, slika koju smo učitali prikazuje Kochovu krivulju u 1. i 2. koraku iterativnog postupka. Međutim, isto tako smo mogli odabrati i 0. i 1. korak iteracije, ili 5. i 6., samo je važno da su to 2 susjedna koraka iterativnog postupka. Sada treba odrediti početnu dužinu linije. Za početnu dužinu linije treba uzeti dužinu jedne linije sa gornje slike koja prikazuje Kochovu krivulju u 1. koraku iterativnog postupka. Da bi odredili koliko ta dužina iznosi potrebno je kliknuti na gumb u okviru (9) Udaljenost: Odaberi prvu točku. Nakon toga treba kliknuti mišem na početak linije kojoj želimo saznati dužinu. Sada pomaknemo kursor mišem do kraja te linije, a u okviru (9) Udaljenost će na dnu okvira pisati koliko ta dužina iznosi pixela. Taj broj upišemo u okvir (3) Parametri, u polje Duljina linije. Da bismo odredili S, tj. omjer dužina duže i kraće linije, isti postupak mjerenja dužine možemo ponoviti i za jednu kraću liniju, tj. za bilo koju liniju prikazanu na gornjoj slici iz 2. koraka iterativnog postupka. Sada, kada znamo dužinu i duže i kraće linije, u okvir (3) Parametri u polje S upišemo koliko iznosi omjer dužina duže i kraće linije. Međutim, kako se radi o Kochovoj krivulji, poznato je da je omjer dužina duže i kraće stranice jednak 3. Osim toga, omjer dužina vidljiv je i sa slike. U ovom slučaju mjerenje ne moramo provoditi i na dužoj i na kraćoj liniji, već je dosta izmjeriti dužinu duže linije, a S npr. odrediti sa slike.

3. Nakon učitavanja slike i određivanja početne dužine linije i parametra S, treba kliknuti na gumb (5) n-ta iteracija. Tada cijeli fraktal u n-tom koraku iterativnog postupka (u konkretnom slučaju je n = 1) treba prijeći linijama. Početna dužina linije je zadana u okviru (3) Parametri. Krenimo npr sa lijeva na desno. Kliknimo mišem na krajnje lijevu točku krajnje lijeve linije. Nakon toga kliknimo mišem na desnu točku te iste linije. Nakon toga na slijedeću točku u nizu i tako dalje dok ne dođemo do zadnje točke zadnje linje fraktala. U svakom trenutku se program brine da su sve linije koje ste povukli jednake dužine i to upravo one početne zadane dužine linije. Popis svih točaka na koje ste kliknuli nalazi se na desnoj strani prozora programa, a označen je brojem (8). Nakon što ste cijeli fraktal prešli linijama prozor programa će izgledati slično kao slika dolje (sve linije koje prikazuju fraktal u 1. koraku iteracije će biti prekrivene crvenim linjama, a u popisu točaka (8) nalazit će se popis svih točaka na koje ste kliknuli).

4. U zadnjem koraku preostaje napraviti isto što i u prethodnom ali sa S puta manjom dužinom linije, i ovaj puta ne na n-tom nego na (n+1)-vom koraku iterativnog postupka. Prvo treba kliknuti na gumb (6) (n+1)-va iteracija. Tada program dužinu linije s kojom trebate prijeći cijeli fraktal ili liniju automatski smanjuje S puta. Nakon toga kliknite na prvu točku prve linije fraktala (bilo sa lijeve bilo sa desne strane) u (n+1)-vom koraku iteracije. U ovom konkretnom slučaju, budući da je n = 1, n+1 = 2. A slika Kochove krivulje u 2. koraku iterativnog postupka je upravo prikazana na desnoj polovici slike koju smo učitali. Nakon što linijama prekrijemo i cijelu Kochovu krivulju u 2. koraku iterativnog postupka preostaje nam još samo mišem kliknuti na gumb (7) Kraj. Tada će se u listi (8) sa desne strane prozora programa ispisati rezultat: d = 1,2618595..., što je upravo očekivani rezultat jer smo u prethodnom proračunu za Kochovu krivulju izračunali da joj je fraktalna dimenzija jednaka 1.2618595. Ispisani rezultat prikazan je na doljnjoj slici.

3.3 Određivanje fraktalne dimenzije obale

1. Učitajmo sliku nekog dijela obale ili otoka kojemu želimo izračunati fraktalnu dimenziju. Prozor programa prikazan je na slici dolje.

2. Potrebno je odrediti parametre "Duljina linije" i "S". Duljina linije je početna dužina, tj. dužina dužeg "štapa" s kojim ćemo prvo mjeriti dužinu obale. To je dužina "štapa" prikazanog na lijevoj polovici učitane slike. Pomoću alata za mjerenje udaljenosti u donjem desnom kutu prozora programa odredimo udaljenost od početka do kraja tog "štapa". Dužina "štapa" u ovom primjeru iznosi 60 pixela pa to upišemo u okvir sa parametrima na lijevoj strani prozora programa. Nakon toga na isti način izmjerimo i dužinu kraćeg "štapa" prikazanog na desnoj polovici učitane slike. Ta dužina iznosi 30 pixela, što je dva puta kraće od dužine dužeg "štapa", pa je omjer dužina dužeg i kraćeg "štapa" S = 2. Vrijednost 2 upisujemo u odgovarajuće polje okvira sa parametrima.

3. i 4. Sada kliknemo na gumb "n-ta iteracija" i prijeđemo cijelu sliku obale sa dužim "štapom" tako da krenemo od jedne strane obale (lijeve ili desne) i klikanjem mišem slažemo linije preko linija obale tako dugo dok ne dođemo do druge strane obale. Nakon toga kliknemo na gumb "(n+1)-va iteracija" i ponovimo cijeli postupak sa S puta kraćom linijom. U konkretnom slučaju, prvo liniju obale prijeđemo sa linijama dužine 60 pixela, a nakon toga sa linijama dužine 30 pixela jer je S = 2. Kao što se vidi na gornjoj slici, da bi obalu prekrili sa dužim štapovima potrebno je 6 štapova, a da bi obalu prekrili sa kraćim štapovima potrebno je 15 štapova. Na kraju kliknemo na gumb "Kraj" i u listi na desnoj strani prozora pojaviti će se rezultat: d = 1.3219... To je fraktalna dimenzija promatranog dijela obale. Što je fraktalna dimenzija nekog dijela obale veća, to je taj dio obale više razlomljen tj. "razvedeniji".