Jedna od najranijih velikih i visokih kultura i civilizacija što ih je čovjek stvorio na Zemlji, bila je staroegipatska. I danas ćemo se još uvijek ponovno i ponovno naći zadivljeni pred ostacima te velike baštine razasutim po muzejima po svijetu i u svojoj postojbini: bio da je riječ o umjetničkim djelima u muzeju u Kairu, npr. iz zbirke nađene u Tutankamonovoj grobnici, bilo da motrimo ostatke čudesne građevine kraljice Hačepsut, njezina hrama u Der el Bahariju, ili velikih piramida, hrama u Luksoru, ili grobnica u Dolini kraljeva, bilo da čitamo dešifrirane tekstove iz staroegipatske Knjige mrtvih, bilo da iz sačuvanih skica i opisa pokušamo rekonstruirati kako su izvođene njihove monumentalne građevine…U svakom ćemo slučaju ostati iznenađeni pred snagom duha i volje i pred dubinom misli što su nikle i razvile se u dolini Nila prije nekoliko tisućljeća.

I staroegipatska je matematika jedan od najranijih epoha razvoja te znanosti. Posebno, jedna od prvih grana matematike, geometrija, već samim svojim nazivom otkriva i svoje podrijetlo. To je po postanku grčka riječ što bi, doslovno prevedeno, značila «mjerenje zemlje». A upravo kao mjerenje zemlje, geometrija se široko razvila već u starom Egiptu. Poslovična izreka, «Egipat je dar Nila», dovoljno je poznata. Bez blatnjavih žutih voda te rijeke što su tisućljećima natapale zemlju, ne bi se razvila tako bogata civilizacija starog Egipta. No poslije redovnih velikih poplava Nila, svake bi se godine granice zemljišnih posjeda lako izbrisale i trebalo ih je ponovno odrediti – valjalo je, dakle, premjeravati zemljišta. Izgradnja veličanstvenih hramova, piramida, kipova, također je zahtijevala određena znanja iz geometrije.

O staroegipatskoj matematici doznajemo ponajviše iz dvaju glasovitih papirusa: Ahmesov ili Rhindov (desno) i Moskovski (lijevo). Rhindov papirus je 1858. otkrio škotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru. To je zapravo svitak dužine 6 m, širine 30 cm. Pisao ga je pisar Ahmes oko 1650 g. pr. Kr i vjerojatno je nastao tako što je Ahmes prepisivao neki spis star 200 godina. Danas se čuva u British Museumu u Londonu, a sadrži 87 matematičkih problema. To je jedna kompletna «studija o svim stvarima, pogled u unutrašnjost svega što postoji, saznanje o tamnim tajnama», kako piše u samom papirusu. Ahmesov papirus je zbirka tablica i vježbi, retorička u svojoj formi, koja je namijenjena uglavnom studentima matematike. Sadrži vježbe iz aritmetike, algebre, geometrije i raznih mjerenja. Moskovski papirus je otkrio 1893. V. S. Golenichev. Dug je 6 m, širok 8 cm. Sadrži 25 problema, od kojih mnogi nisu čitljivi. Čuva se u Moskovskom muzeju.

Stari Egipćani su imali razvijeni decimalni sustav i svoje oznake za brojeve:

hijeroglifski brojevi

S takvim hijeroglifskim i hijeratičkim znakovima su računali na vrlo vješt način, s tim da se mora uzeti u obzir slijed čitanja znakova. Naime, pisma su se čitala na različite načine: jednom s desna u lijevo, a drugi put obratno.

Postojao je i poseban hijeroglifski znak za «beskonačno»: naravno, ne za beskonačno veliki broj u modernom smislu, već za broj koji je tako velik da ga je, kako im se činilo, bilo nemoguće izraziti nekim zapisom – za broj poput «broja zrnaca pijeska» u pustinji, ili poput «broja kapi vode» u moru. Hijeroglif za takav pojam beskonačno velikog broja bio je slika čovjeka s uzdignutim rukama i pogledom usmjerenim u nebo.

Osim navedenih, upotrebljavali su se povremeno i neki posebni znakovi za brojeve koji nisu dekadske jedinice. Npr. za broj dva crtali bi se goveđi rogovi, ili za broj pet morska zvijezda, dok je ljudska glava bila i oznaka za broj sedam (7 otvora).

Na poseban su način označavali razlomke, tako specifičan da nema sličnosti ni s jednom drugom kulturom.

Razlomak s brojnikom jedan zapisivao se tako da se iznad znaka za nazivnik stavio poseban znak sa značenjem «dio».

Svi razlomci pisali su se sa jediničnim brojnikom (2/3), a ako to nije bilo moguće, onda su ga prikazivali kao zbroj takvih.

Evo nekoliko primjera zapisa nekih brojeva:

,

Kako su računali stari Egipćani?

Egipatski brojevni sustav nije bio pogodan za računanje, ali je trgovina zahtijevala zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje te rad s razlomcima.

Računali su u brojevnom sustavu s bazom 10, a jedna od glavnih razlika između hijeratičkih brojeva i našeg brojevnog sustava je da hijeratički brojevi nisu bili pisani u sustavu mjesnih vrijednosti, tako da su znamenke mogle biti pisane bilo kojim redoslijedom, tj., mjesna vrijednost nije bila oznaka potencije.

Zbrajalo se skupljanjem istih simbola zajedno i pretvaranja njih 10 u jedan simbol sljedeće razine:

Oduzimalo se tako da se odmicao određeni broj istih simbola. Ovo je znalo biti i komplicirano kad se moralo oduzeti više simbola nego ih je bilo prisutno u prikazu, npr., evo kako bi izračunali 63-38

Od 6 desetica možemo oduzeti 3 desetice, ali možemo ukloniti samo 3 jedinice. Još nam preostaje 5 jedinica za oduzimanje. Jedna od preostalih desetica je potrebna da se onemogući sljedećih 5 jedinica da se oduzmu jer

1 desetica – 5 jedinica =10 jedinica – 5 jedinica = 5 jedinica.

Točan mehanizam oduzimanja kojeg su koristili nije skroz jasan, iako ova ilustracija pokazuje kojim je redoslijedom pisar mogao provesti račun.

Množenje prirodnih brojeva, odaje nam da su se služili i potencijama broja 2, npr.:

Stari Egipćani množili su dva broja koristeći jednostavno udvostručavanje brojeva.

U plavom pravokutniku je prikazan njihov zapis, a sivi pravokutnik i račun ispod njih objašnjava metodu.

Kako nisu imali razvijen pozicijski zapis brojeva, moramo starim Egipćanima priznati veliku spretnost i ekonomičnost u njihovom računanju.

Za udvostručavanje brojeva, samo su zapisali jedan ispod drugoga i pretvorili svakih 10 istih simbola u simbol sljedeće razine.

Egipatski brojevni sustav koristio je simbole koji predstavljaju potencije od 0 do 6 broja 10. Zato je množenje broja s 10 bilo relativno jednostavno: zamijenili bi svaki simbol sa onim susjednim po veličini, npr.

236 x 10 = (6 jedinica postaje 6 desetica, 3 desetice postaju 3 stotice, 2 stotice postaju 2

tisućice) = 2 tisućice, 3 stotice i 6 desetica

= 2360

Evo jednog od posljednjih problema Rhindova papirusa: «Neko imanje sadrži sedam zgrada. U svakom od njih je sedam mačaka. Svaka od njih uhvati po sedam miševa od kojih je svaki pojeo po sedam zrna pšenice. A svako bi zrno moglo dati sedam mjerica žita. Koliko bi na imanju bilo ukupno zgrada, mačaka, miševa, zrna pšenice i mjerica žita?»

Rješenje u našim oznakama dano je s:

zgrada 7

mačaka 49

miševa 343

zrna 2401

mjerica 16807

19607

Dijeljenje u starih Egipćana zahtijevalo je korištenje množenja i vrlo često upotrebu razlomaka. Pogledajmo prvo primjer dijeljenja pri čemu je rezultat cijeli broj:

Razmišljanje je slijedeće:

· 125 podijeljeno sa 5 daje isti rezultat kao …5 pomnoženo s ??? = 125

· množi 5 uzastopno s multiplima od 2 sve dok ne dobiješ 125 (kao kod množenja)

· zbroj crveno označenih brojeva u plavom pravokutniku daje rješenje.

Ova metoda se temelji na jednostavnoj činjenici koja je bila poznata i egipatskim pisarima, a to je da je množenje inverz od dijeljenja, tj.

a x b = c • c¸ b = a

Kad je pisar morao računati s razlomcima, bio je suočen s mnogim problemima, uglavnom vezanim za njihovo zapisivanje. Njihove metode zapisivanja nisu im dopuštale da pišu jednostavne razlomke kao što su 3/5, ili 15/33 zato što su svi razlomci morali biti prikazani s brojnikom 1. Ako to nije bilo moguće, onda se taj razlomak morao zapisati kao zbroj razlomaka s brojnikom 1, s iznimkom 2/3. Razlomci su bili zapisivani tako da je iznad nazivnika stavljen hijeroglif koji je označavao «otvorena usta» . Zbog pojednostavljenja, obično se razlomci s jedinicom u brojniku pišu s kosom crtom iza koje slijedi nazivnik, npr. ½ postaje /2, ¼ postaje /4, dok se iznimka, 2/3, piše //3.

Postojala su i određena pravila pri računanju s razlomcima:

· kad se razlomak može prikazati na više načina, koristi se način koji zahtijeva najmanji broj jediničnih razlomaka,

· uvijek se koristi najveći mogući jedinični razlomak, osim ako to nije u kontradikciji s prvim pravilom,

· u prikazu rastava 2/n isti jedinični razlomak ne može biti korišten više od jednom,

· jedinični razlomci pišu se od većeg prema manjem.

Evo nekoliko primjera koji objašnjavaju ova pravila:

1. Razlomak ¾ pisar je mogao zapisati kao /2 /4, ili /3 /4 /6 .Uvijek se koristi kraća verzija.

2. Razlomak 7/12 se mogao zapisati kao /2 /12, ili /3 /4. Pisar bi koristio /2 /12 jer mora koristiti veći jedinični razlomak, /2 koji je veći od /3.

3. Razlomak 9/10 se nije mogao zapisati kao /2 /5 /5 zato što se svaki jedinični razlomak može koristiti samo jednom u prikazu. Zato bi se 9/10 pisao kao //3 / /30.

4. Prijašnji primjer pokazuje kako su razlomci u zbroju pisani u padajućem redoslijedu: //3>/6>/30.

označavao je 1/3

3/4 = 1/2 + 1/4

Stari Egipćani su vjerovali da ih « Rx » simbol, tj. simbol boga Horusa štiti od zla. Zato su i u matematiku ugradili simboliku pa su razvili i svojevrstan brojevni sustav koji se koristio za prepisivanje lijekova, podjelu zemlje ili sjemenja. Razlomke su tvorili tako što su kombinirali pojedine dijelove simbola oka boga Horusa. Svaki dio je imao različitu vrijednost. Cjelokupni simbol oka ima vrijednost 1, a cijeli sustav se temelji na podjeli na polovice. Pola od 1 je ½, pola od ½ je ¼, itd. sve do 1/64 .

Npr., da bismo prikazali razlomak 5/8, kombiniramo razlomke 1/8 i ½: .

Važnost 2/3 kao jedinog razlomka kojeg nisu rastavljali na jedinične i kojeg su vrlo mnogo koristili u računima, pronalazimo u tome što su stari Egipćani znali i koristili činjenicu da se 2/3 od 1/n može računati kao 2/3 x 1/n = 1/2n x 1/6n. Koliko su bili vješti u računanju, a pogotovo zato što nigdje nisu bile pronađeni neki pomoćni računi, skloni smo vjerovanju da su imali dobro i precizno razrađene tablice rastava razlomaka, zbrajanja i oduzimanja osnovnih i sl., koje su im omogućavale brzo i efikasno računanje s razlomcima.

Promotrimo li ove fantastične građevine koje su stari Egipćani ostavili u prilog svjetskoj baštini, ne možemo a da se ne zapitamo koliko su dobro imali razvijenu geometriju, stereometriju i sve ono što im je bilo potrebno za izgradnju piramida i hramova. Znamo da su znali računati nagib piramide, volumen krnje piramide te volumen piramide. Znali su izračunati površinu trokuta kao ½ umnoška dviju kraćih stranica (iako to vrijedi samo za pravokutan trokut); malena odstupanja im nisu značila previše. Znali su izračunati i površinu pravokutnika kao umnožak duljina stranica.

dio Moskovskog papirusa o izračunavanju volumena krnje piramide

Ono što je fascinantno, a pronađeno je u Ahmesovom papirusu, je kako su pokušavali izračunati površinu kruga:

· pretpostavimo da krug ima dijametar od 9 kheta (khet je jedinica za duljinu),

· uzmi 1/9 dijametra, dakle 1,

· ostatak je 8,

· pomnoži 8 sa 8,

· dobiješ 64 i to je površina!

Kad bismo to zapisali suvremenim matematičkim jezikom, P=(8/9 x dijametar)², i usporedili rezultat s egzaktnom formulom za izračunavanje površine kruga, P = r ² p , dobili bismo zanimljiv rezultat: stari Egipćani su gotovo 1000 godina prije stvarnog otkrića broja p znali njegovu približnu vrijednost. Naime, po njihovim računima bi p iznosio približno 3.1605!

Evo i mogućeg načina izračunavanja površine kruga preko uspoređivanja kruga s kvadratom:

· promjer kruga je 9, dakle, opiši mu kvadrat stranice duljine 9

· podijeli svaku stranicu kvadrata na trećine

· površina dobivenog osmerokuta je približno jednaka površini kruga

· površina osmerokuta jednaka je površini kvadrata umanjena za dva manja kvadrata sačinjena od 4 «odrezana» trokuta

P(osmerokut) = 9 x 9 – 4(1/2 x 3 x 3) = 63 » 64 =8²

Staroegipatska algebra bila je retorička, problemi i rješenja dani su riječima. Znali su rješavati jednadžbe prvog stupnja s tim da su obavezno provodili analizu i sintezu pri rješavanju, tj. svako rješenje su uvrštavali u početni problem da se uvjere da to uistinu i jest pravo rješenje.

Stari Egipćani nisu poznavali oznake za množenje, dijeljenje, jednakost, drugi korijen, decimalnu točku, nisu čak ni znali za obični razlomak oblika p/q, nisu se pitali zašto nešto funkcionira, nisu tražili univerzalnu istinu formuliranu simbolima koji bi jasno i logički pokazali njihov misaoni proces. Ali su se zato koristili i sedmeroznamenkastim brojevima, imali su neku čudnu mješavinu jednostavnosti i začudne kompliciranosti u svojim računima, ali taj koncept se pokazuje kao jedna potpuno jedinstvena i zatvorena cjelina.

Zato se može reći da je egipatska matematika jedini sačuvani čisti primjerak računske tehnike koja je bila vrlo razvijena, koja u čitavom svom razvoju nije doživjela nikakav bitni diskontinuitet, već se zaista u potpunosti temelji na najranijoj osnovi računanja, naime na brojenju i individualnim pojmovima razlomaka.