Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
		Broj 10
		http://e.math.hr/

Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica malog reda

Vjeran Hari i Vida Zadelj-Martić

Sadržaj:

1. Uvod u kosinus-sinus dekompoziciju
2. Singularna dekompozicija matrice reda dva
3. CS dekompozicija ortogonalnih matrica reda 2 i 3
4. CS dekompozicija ortogonalne matrice reda 4
5. Jedna primjena CS dekompozicije
Literatura

1. Uvod u kosinus-sinus dekompoziciju

Realna matrica Q reda n je ortogonalna ako zadovoljava jedan od uvjeta: Q^τQ =I ili QQ^τ = I, pri čemu je sa Q^τ označena transponirana matrica matrice Q, dok je I jedinična matrica. Može se pokazati da uvjet Q^τQ = I povlači QQ^τ = I, a vrijedi i obratno, uvjet QQ^τ = I povlači Q^τQ = I. Uvjet Q^τQ = I zapravo znači da su stupci matrice Q međusobno ortogonalni i da svi imaju jediničnu (duljinu) normu. Zato se kaže da su stupci ortogonalne matrice ortonormirani. Uvjet QQ^τ = I znači da su retci od Q ortonormirani.

Ortogonalne matrice su vrlo važne u konstrukciji matričnih algoritama jer imaju još neka važna svojstva. Ako pomnožimo proizvoljnu n × m matricu A slijeva s ortogonalnom matricom Q, tada stupci matrice QA imaju redom iste norme kao i stupci matrice A. Čak i više, kutovi između stupaca matrice A ostaju nepromijenjeni pri prelasku na matricu QA. Ista svojstva invarijantnosti vrijede i za retke prizvoljne m × n matrice B pri prelasku na matricu BQ. Konačno, produkt ortogonalnih matrica je opet ortogonalna matrica, inverz ortogonalne matrice je ortogonalna matrica, a i jedinična matrica je ortogonalna.

Kosinus-sinus dekompozicija (kraće, CS dekompozicija ili CSD) ortogonalne matrice Q vezana je uz 2 × 2 particije matrice Q,

pri čemu su Q₁₁ i Q₂₂ kvadratne reda k i n − k, gdje je k između 1 i n − 1. Za takvu particiju CS dekompozicija ima sljedeći oblik

gdje je

ovisno o tome je li k ≥ n − k ili je k < n − k. Ako je k = n − k, tada se u prvom ili drugom obliku matrice Θ u relaciji (3) ispušta jedinična matrica.

Pritom su Γ i Σ dijagonalne matrice s nenegativnim dijagonalnim elementima γ_i i σ_i za koje vrijedi γ₁ ≥ γ₂ ≥ … ≥ 0 i γ_i² + σ_i² = 1 za sve i. Zbog zadnjeg svojstva, dijagonalni elementi γ_i poistovjećuju se s kosinusima, a σ_i sa sinusima nekih kutova, pa odatle i naziv kosinus-sinus dekompozicija ortogonalne matrice. Očito mora vrijediti 0 ≤ σ₁ ≤ σ₂ ≤ … ≤ 1. Uočimo također da za dijagonalne matrice Γ i Σ vrijedi Γ² + Σ² = I. U gornjim relacijama 0 označava nul-matricu odgovarajućeg tipa. Matrice U₁₁ i V₁₁ (U₂₂ i V₂₂) su ortogonalne reda k (reda n − k).

Kako bi izlaganje bilo što jednostavnije, mi ćemo u ovom članku izvesti CS dekompozicije ortogonalnih matrica reda 2, 3 i 4, te pokazati jednu njihovu primjenu. No, prije toga trebamo razviti "alate" koje ćemo koristiti. Jedan od najvažnijih alata je singularna dekompozicija koju ćemo uglavnom koristiti za matrice reda dva.

2. Singularna dekompozicija matrice reda dva

U konstrukciji algoritma za računanje CS dekompozicije ortogonalnih matrica koristi se jedna od najvažnijih matričnih dekompozicija: singularna dekompozicija (engl. singular value decomposition ili kraće SVD). Za naše potrebe, bit će dovoljno znati kako ju izračunati za matrice reda dva.

Neka je A proizvoljna matrica reda dva. Singularna dekompozicija matrice A je svaki rastav oblika

gdje su U i V ortogonalne matrice reda dva. Kako izgledaju ortogonalne matrice reda dva? To su ili rotacije ili reflektori (zrcaljenja) u ravnini, pa proizvoljna ortogonalna matrica W reda dva ima jedan od sljedećih dvaju oblika

Pritom je φ ∈ [0 , 2π] kut kojim je određena W. Neka je

proizvoljni vektor. Tada produkt y = Qx ima u slučaju rotacije oblik

dok u slučaju reflektora postaje

Uočimo da se vektori x definirani kutem φ/2 ne mijenjaju kad se množe s reflektorom (oni su u "zrcalu").

Sljedeća slika daje geometrijski prikaz ovih transformacija pomoću točaka ravnine. Pritom smo vektoru [α β]^τ jednoznačno pridružili točku (α, β) ravnine. Prikazali smo kako se transformiraju vektori [1 0]^τ, [0 1]^τ i [α β]^τ pri množenju s W. Odabrali smo φ = 60°.

Budući da W ne mijenja normu vektora x, možemo smatrati da je Wx rotirani vektor x. Pritom, ako je W rotacija, onda se svaki x rotira za kut φ. Ako je W reflektor, onda kut rotacije ovisi i o vektoru x (kutu ψ). Stoga nam singularna dekompozicija daje jednostavnu geometrijsku interpretaciju transformacije x  Ax = UΞV^τ x: prvo se x rotira u vektor V^τ x, zatim se komponente od V^τ x pomnože nenegativnim brojevima α₁ i α₂, te se dobije vektor ΞV^τ x. Konačno, ΞV^τ x se rotira matricom U. Budući da množenje s V^τ i U ne mijenja normu vektora, norma od Ax ovisi jedino o singularnim vrijednostima matrice A. Isti zaključak vrijedi i kad je A višeg reda.

Jedan algoritam kako izračunati singularnu dekompoziciju (4), pri čemu su U i V matrice rotacije, opisan je u članku [ZA]. Stoga, kad nam zatreba singularna dekompozicija matrice reda dva, možemo koristiti taj algoritam. Više o singularnoj dekompoziciji može se naći npr. u poznatoj knjizi [GO].

3. CS dekompozicija ortogonalnih matrica reda 2 i 3

CS dekompozicija ortogonalne matrice Q reda 2, koja je definirana kutem φ, ima oblik

Bez obzira je li Q rotacija ili reflektor, uvijek je moguće odabrati predznake u 1. i 3. matrici na desnoj strani gornje jednakosti tako da relacija vrijedi. Budući da ortogonalna matrica reda jedan ima oblik [1] ili [−1], desna strana u zadnjoj relaciji doista predstavlja CSD od Q.

Neka je sada ortogonalna matrica Q reda 3. Gledajući relacije (1), (2), (3), zaključujemo da CSD za Q ima jedan od oblika,

ili

pri čemu ±1 znači 1 ili -1.

Promotrimo prvi slučaj, kad je Q₁₁ reda dva. Prvo izračunajmo singularnu dekompoziciju od Q₁₁. Dobijemo ortogonalne matrice Ũ₁₁ i Ṽ₁₁, te nenegativne brojeve γ₁ i γ₂, takve da vrijedi

Pomoću Ũ₁₁ i Ṽ₁₁ načinimo ortogonalne matrice

gdje je Q₂₂ = [q₃₃], a sign(q₃₃) je predznak od q₃₃ (1 ili -1). Pomnožimo U^τQV i označimo taj umnožak s X. Ako pokažemo da je X = Θ, gdje je Θ oblika kao prva matrica u relaciji (3), dokazali smo da je Q = UΘV^τ, CSD matrice Q.

Izračunajmo elemente od X,

Budući da je X ortogonalna, prva dva stupca, kao i prva dva retka, moraju biti ortogonalna. To nam daje sljedeće relacije

Kad bi bilo γ₁ = 0 moralo bi zbog γ₁ ≥ γ₂ ≥ 0 biti i γ₂ = 0. To, zajedno s uvjetom β₁β₂ = 0 povlači da je ili prvi ili drugi stupac od X sastavljen od samih nula. Budući da se to protivi ortogonalnosti matrice X (svi stupci i svi retci od X su jedinični), mora biti γ₁ > 0. Tvrdimo da mora biti γ₁ = 1. Zaista, kad bi bilo γ₁ < 1, bilo bi zbog γ₂ ≤ γ₁, γ₂ < 1. Kako je |β₁| = √1 − γ₁², |β₂| = √1 − γ₂² morali bi β₁ i β₂ biti različiti od nule, a to je nemoguće jer je β₁β₂ = 0. Time smo pokazali da je γ₁ = 1 i β₁ = 0. Također, budući da je |α₁| = √1 − γ₁², mora biti i α₁ = 0. Dakle, ortogonalna matrica X ima oblik

Stoga je |q₃₃| = γ₂ i α₂ = −β₂. Ako je β₂ ≥ 0, X = Θ. Ako je β₂ < 0, treba kao U i V uzeti matrice

Time je dokaz egzistencije CSD vezane za prvu particiju gotov.

Dokaz za drugu particiju matrice Q vrlo je sličan, pa ćemo ga sažeto prikazati. Prvo izračunamo singularnu dekompoziciju 2×2 podmatrice Q₂₂,

a zatim sagradimo matrice U i V kako slijedi

gdje je Q₁₁=[q₁₁]. Matrica X=U^τQV sada ima oblik

Istim zaključivanjem, odmah dobijemo γ₁ = 1, α₁ = 0, β₁ = 0, te |q₁₁| = γ₂ i β₂ = −α₂. Ako je β₂ ≥ 0, U i V daju X = Θ. Ako je β₂ < 0, moramo U i V promijeniti, tako da im promijenimo predznake u svim elementima zadnjih stupaca.

Uočimo da prvi oblik CS rastava ortogonalne matrice Q ima rotacije u istim ravninama kao i rotacije vezane uz Eulerove kutove. Stoga je θ Eulerov kut ako je q₃₃ ≥ 0, jer je |q₃₃| = cos θ ≥ 0 i jer je q₃₃ kosinus Eulerova kuta. Za ostale kutove mogla bi se napraviti analiza, jer matrice U₁₁ i V₁₁ mogu biti i reflektori. Također, u analizi bi se trebalo pretpostaviti da je determinanta od Q jednaka 1.

4. CS dekompozicija ortogonalne matrice reda 4

Za ortogonalnu matricu Q reda 4 postoje tri moguće particije koje daju CS dekompoziciju: kad je Q₁₁ reda 1, 2 i 3. Započnimo razmatranje s najzanimljivijim slučajem kad su obje podmatrice Q₁₁ i Q₂₂ reda dva.

4.1 Q₁₁ je reda dva

Izračunajmo singularne dekompozicije podmatrica Q₁₁ i Q₂₂, Q₁₁ = U₁₁Γ₁V₁₁^τ, Q₂₂ = U₂₂Γ₂V₂₂^τ i sagradimo ortogonalne matrice

Množenjem lako dobijemo

Pritom su γ₁ i γ₂ singularne vrijednosti od Q₁₁, dok su γ₃ i γ₄ singularne vrijednosti od Q₂₂. Odatle je proizašlo da je γ₁ ≥ γ₂ ≥ 0  i  γ₃ ≥ γ₄ ≥ 0.

Matrica Q̃ ima jedinične retke i stupce. Stoga je suma kvadrata elemenata svakog retka i svakog stupca jednaka jedan. To nam daje 8 jednadžbi, koje slijede iz oblika (6) matrice Q̃, a koje zapisujemo kroz četiri relacije:

Budući da je Q̃ ortogonalna, različiti stupci i retci međusobno su ortogonalni. To nam daje 12 jednadžbi, koje zapisujemo kroz 6 relacija:

Iz relacija (7) - (10), zbrajanjem prvih i drugih dviju lijevih jednadžbi, slijedi

pa je

Da bi Q̃ bila Θ, trebalo bi biti

Promotrimo prvo slučaj  1 > γ₁ > 0 . Pretpostavimo da je γ₁ ≠ γ₃. Tada relacija (12) daje

Ako uvrstimo uvjete a = 0 i e = 0 u relaciju (7) i iskoristimo pretpostavku γ₁ < 1, dobijemo b² = 1 − γ₁² = g² > 0, pa je |b| = |g| > 0. Sada relacija (13) povlači

Sada relacija (11) daje gh = 0 = bd, pa je h = 0 = d. Pogledajmo relacije (8) i (9). Vidimo da mora biti: γ₂² = 1 − c² = γ²₃, pa je γ₂ = γ₃. Zapravo smo dobili γ₄ = γ₁ ≥ γ₂ = γ₃. Zbog γ₃ ≥ γ₄, to znači γ₄ = γ₃. Međutim, to ne može biti, jer bi to značilo γ₁ ≥ γ₃. Za dobivenu kontradikciju kriva je pretpostavka γ₁ ≠ γ₃, pa mora biti γ₁ = γ₃.

Dakle, mora vrijediti γ₁ = γ₃, pa relacija (17) odmah daje γ₂ = γ₄. Sada imamo dvije mogućnosti: γ₁ = γ₂ ili γ₁ > γ₂.

Pretpostavimo da vrijedi γ₁ = γ₂. U tom slučaju zapravo vrijedi γ₁ = γ₂ = γ₃ = γ₄, pa stavimo γ = γ_i, za i = 1, 2, 3, 4. Pritom vrijedi 0 < γ < 1. Relacije (12) - (15) povlače: a = −e, b = −g, c = −f, d = −h. S druge strane, oduzimanjem jednadžbe (7) od (10), pa opet (7) od (9), dobivamo a² = d ², b² = c², tj. |a| = |d| i |b| = |c|. Pretpostavimo da je a ≠ 0. Tada relacije (11) i (16) daju dvije mogućnosti: ako je d = a, tada je c = −b i ako je d = −a, tada je c = b. Prema tome Q̃ može imati jedan od oblika

Da bi vrijedila relacija (18), dovoljno je konstruirati rotaciju R, takvu da vrijedi

Kad se iz tan α izračunaju cos α i sin α, još se izračuna i reflektor

Da bi matrica Q̃ iz relacije (6) poprimila traženi oblik matrice Θ iz relacije (3), potrebno je u prvom slučaju (d = a i c = −b) zamijeniti matrice U₂₂ i V₂₂ s U₂₂R^τ i V₂₂R^τ, a u drugom slučaju (d = −a i c = b) zamijeniti matrice U₂₂ i V₂₂ s U₂₂R̃^τ i V₂₂R̃^τ. Provjerite matričnim množenjem da se u oba slučaja dobije matrica

Promotrimo sada slučaj γ₁ > γ₂. Kako vrijedi γ₁ = γ₃ i γ₂ = γ₄, proučimo prvo slučaj kad je γ₂ = γ₄ = 0.

Relacije (12), (13) i (15) svode se na e = −a, b = 0 = g, c = 0 = f, respektivno. Zato relacije (7) - (10) daju |a| = √1 − γ₁² > 0, |d| = |h| = 1.

Dakle je

gdje je d = ±1, h = ±1. Da bi Q̃ postala Θ, potrebno je zamijeniti matrice U₂₂ i V₂₂ s U₂₂J i V₂₂J̃, respektivno, gdje je

Neka je sada γ₂ = γ₄ > 0. Relacije (12) i (15) kraćenjem s γ₁, odnosno γ₂, daju e = −a i h = −d. Sada relacije (7) i (8) daju |b| = |g| i |c| = | f |. Oduzimanjem jednadžbi u relaciji (7) od onih u relaciji (9) dobivamo |c| = |b|, |g| = | f |.

Dakle, vrijedi: |b| = |c| = | f | = |g|. Sada iz relacije (13) slijedi

Dakle b = 0, a to znači i c = f = g = 0. Stoga Q̃ ima oblik kao u relaciji (19), uz dodatni uvjet h = −d. Da bi Q̃ postala Θ, potrebno je zamijeniti matrice U₂₂ i V₂₂ s U₂₂J' i V₂₂J', gdje je

Preostaje razmotriti slučajeve γ₁ = 0 i γ₁ = 1.

Neka je  γ₁ = 0 . Sada je nužno zbog relacije (17), γ₁ = γ₂ = γ₃ = γ₄ = 0. Relacije (7) - (16) pokazuju da su

proizvoljne ortogonalne matrice reda dva. S obzirom da je

bit će potrebno matrice U₁₁ i U₂₂ iz relacije (5) zamijeniti s −U₁₁W₁ i U₂₂W₂, respektivno.

Konačno, neka je  γ₁ = 1 . Iz relacija (7) slijedi a = b = e = g = 0. Pokažimo da je i γ₃ = 1. Kad bi bilo γ₃ < 1, tada relacija (9) povlači |c| = | f | > 0. Stoga možemo dijeliti s c, pa podijelimo jednadžbe u relaciji (14) s c. Ako su c i f istog predznaka, tada slijedi γ₂ + γ₃ = 0, pa je γ₂ = 0 i γ₃ = 0. Zbog γ₃ ≥ γ₄ odmah slijedi γ₄ = 0, a to se protivi relaciji (17). Ako su c i f različitog predznaka, tada relacija (14) daje γ₂ = γ₃ i f = −c. Sada relacija (17) daje γ₄ = 1. Budući da je γ₃ < 1, dobili smo γ₃ < γ₄, a to je nemoguće. Dakle, pretpostavka γ₃ < 1 vodi u proturječje, pa mora biti γ₃ = 1. No, γ₃ = 1 i relacija (9) daje f = c = 0. Također, relacija (17) daje γ₂ = γ₄. Ortogonalna matrica Q ima oblik

Ako je γ₂ > 0, relacija (15) implicira h = −d. Tada Θ nastaje iz Q̃ ako U₂₂ i V₂₂ iz relacije (5) zamijenimo s U₂₂J'' i V₂₂J'', gdje je

Ako je γ₂ = 0, tada relacija (8) pokazuje da vrijedi |d| = |h| = 1. Sada Θ nastaje iz Q̃ ako U₂₂ i V₂₂ iz relacije (5) zamijenimo s U₂₂J''' i V₂₂J'', gdje je J'' kao u (21), a

4.2 Q₁₁ je reda jedan

Izračunajmo singularnu dekompoziciju podmatrice Q₂₂, Q₂₂ = U₂₂Γ₂V₂₂^τ i sagradimo ortogonalne matrice

Množenjem se dobije

Pritom je γ₁ = |q₁₁| jedina singularna vrijednost od Q₁₁, dok su γ₂, γ₃, γ₄ singularne vrijednosti od Q₂₂. Kako izračunati singularnu dekompoziciju matrice reda 3 izlazi iz okvira ovog rada (vidjeti [GO]). Slučajeve kad je Q₁₁ reda 1 i reda 3 ionako nećemo koristiti u primjenama CS dekompozicije u ovom radu.

Ortogonalnost matrice Q daje relacije

Prvo pokažimo da mora biti a = 0. Kad bi bilo a ≠ 0, tada bi zbog relacija (28) i (29), moralo vrijediti b =0 = c, a onda bi zbog (25) i (26) bilo γ₃ = 1 = γ₄. Budući da je zbog (24) γ₂ = √1 − a² < 1, dobili bismo kontradikciju s pretpostavkom (22) da je γ₂ ≥ γ₃ ≥ γ₄.

Budući da je a = 0, zbog lijeve jednadžbe u (24) mora biti γ₂ = 1, a onda zbog desne jednadžbe e = 0. Relacija (30) pokazuje da mora biti b = 0 ili c = 0.

Zbog relacije γ₃ ≥ γ₄ i relacija (25) i (26), mora svakako biti b = 0.

Ako je i c = 0, tada relacije (25), (26) i (23) pokazuju da je Q̃ = I₄ jedinična matrica reda 4, koja se uklapa u oblik od Θ.

Ako je c ≠ 0, onda je γ₁ = √1 − c² = γ₄, pa relacija (27) pokazuje da je g = −c. Tada je

pa još treba osigurati da je −c ≥ 0. To se postiže tako da se zadnji redak i stupac od Q̃, odnosno zadnji stupac od U₂₂ i od V₂₂ pomnoži sa −sign(c).

4.3 Q₁₁ je reda tri

Taj slučaj može se svesti na prethodni korištenjem transformacije sličnosti sa specijalnom permutacijom. Ipak, zbog cjelovitosti prikaza i zbog korištenja što manjeg obujma iz teorije matrica, načinit ćemo cjelovitu analizu.

Izračunajmo singularnu dekompoziciju podmatrice Q₁₁, Q₁₁ = U₁₁Γ₁V₁₁^τ i sagradimo ortogonalne matrice

Množenjem se dobije

Pritom je γ₄ = |q₄₄| jedina singularna vrijednost od Q₂₂, dok su γ₁, γ₂ i γ₃ singularne vrijednosti od Q₁₁. Ortogonalnost matrice Q daje relacije

Prvo pokažimo da mora biti a = 0. Kad bi bilo a ≠ 0, tada bi zbog relacija (37) i (38) moralo vrijediti b = 0 = c, a onda bi zbog (33) i (34) bilo γ₂ = 1 = γ₃. Budući da je zbog (32) γ₁ = √1 − a² < 1, dobili bismo kontradikciju s pretpostavkom (31) da je γ₁ ≥ γ₂ ≥ γ₃.

Budući da je a = 0, mora po relaciji (32) biti γ₁ = 1, a onda također i e = 0. Relacija (39) pokazuje da mora biti b = 0 ili c = 0. Zbog relacije γ₂ ≥ γ₃ i relacija (33), (34), mora svakako biti b = 0.

Ako je i c = 0, onda relacije (33) i (34) pokazuju da je Q̃ = I₄ jedinična matrica reda 4 koja se uklapa u oblik od Θ.

Ako je c ≠ 0, onda je γ₃ = √1 − c² = γ₄, pa relacija (36) pokazuje da je g = −c. Tada je

pa još treba osigurati da je −c > 0. To se postiže tako da se zadnji redak i stupac od Q̃ te zadnji stupac od U₂₂ i od V pomnože sa −sign(c).

5. Jedna primjena CS dekompozicije

Iz teorije matrica poznato je da se svaka simetrična matrica A reda n može prikazati u obliku A = QΛQ^τ, pri čemu je Q ortogonalna matrica, a Λ = diag(λ₁,…,λ_n) dijagonalna matrica.

Stupci matrice Q čine ortonormiran sistem vlastitih vektora, a dijagonalni elementi λ₁,...,λ_n matrice Λ su vlastite vrijednosti od A. Takav rastav zove se spektralni rastav (ili dekompozicija) simetrične matrice. Zbog Λ = Q^τAQ, kaže se da Λ nastaje iz A transformacijom sličnosti pomoću matrice Q.

Za potrebe ubrzavanja tzv. dijagonalizacijskih metoda za računanje spektralnog rastava simetrične matrice reda n, javlja se problem što točnijeg i bržeg računanja spektralnih rastava simetričnih matrica malih dimenzija. Ovdje ćemo pokazati kako nas CS dekompozicija ortogonalnih matrica dimenzija 3 i 4 upućuje na smjer u kojem treba nastaviti istraživanje, za nalaženje što efikasnijeg i točnijeg algoritma za simetrične matrice reda 3 i 4.

5.1. Dijagonalizacija simetrične matrice reda 3

Neka je Q ortogonalna matrica reda 3. Tada su

njene CS dekompozicije. Vidimo da se svaka ortogonalna matrica Q reda 3 može prikazati kao produkt od tri ravninske rotacije. Prvi red zadnje relacije pokazuje da je

gdje su Φ₁ i Φ₂ dijagonalne matrice predznaka. Kako Φ₂ ne utječe na dijagonalizaciju jer je Φ₁DΦ₁ = D za svaku dijagonalnu matricu D, problem se svodi na traženje što efikasnijeg i točnijeg algoritma za računanje kutova ψ₁, ψ₂ i ψ₃.

Drugi red iste relacije pokazuje da Q možemo tražiti u obliku

Dakle, tražena ortogonalna matrica može se prikazati u obliku triju ravninskih rotacija (i jedne dijagonalne matrice predznaka). Drugim riječima, simetrična matrica reda 3 može se dijagonalizirati korištenjem samo triju rotacija. Pritom o rotacijama znamo u kojem redoslijedu i u kojim ravninama rotiraju, ali ne znamo jednostavno izračunati kutove. Nalaženje efikasnog algoritma za brzo i točno računanje tih kutova na računalima zanimljiv je istraživački problem.

5.2. Dijagonalizacija simetrične matrice reda 4

Ovdje ćemo na sličan način pokazati da se simetrična matrica reda 4 može dijagonalizirati pomoću 6 rotacija i o rotacijama znamo sve (u kojem redoslijedu i u kojim ravninama rotiraju) osim kutova. Promatrat ćemo samo slučaj kad je gornja vodeća podmatrica Q₁₁ reda 2. Ostale particije, kad je Q₁₁ reda 1 ili 3, daju nepovoljniji krajnji rezultat, koji uključuje 8 rotacija, pa ih nećemo razmatrati.

Relacija (2) se za ortogonalnu matricu reda 4 može zapisati kao

pri čemu je c_i = cos ψ_i, s_i = sin ψ_i za i = 1,…,6. Ako su

tada Φ₁ i prve dvije rotacije "pripremaju teren" za sljedeće dvije rotacije koje moraju "poništiti" cijeli blok koji čine elementi a₁₃, a₁₄, a₂₃ i a₂₄. Dakle prve 4 rotacije, transformacijama sličnosti na A, trebaju pretvoriti te elemente u nulu. To mora biti tako, jer zadnje dvije rotacije ne mijenjaju normu (korijen iz sume kvadrata elemenata) tog bloka. Pa ako on nije postao nul-matrica prije primjene zadnjih dviju rotacija, i na kraju će ostati takav, različit od nul-matrice. Stoga, zadnje dvije rotacije pretvaraju u nule elemente na pozicijama elemenata a₁₂ i a₃₄. Zadnja dijagonalna matrica predznaka Φ₂ nije potrebna iz gore spomenutih razloga.

U zaključku napominjemo da smo uz prikaz CS dekompozicije ortogonalnih matrica do reda 4, otvorili i problem brzog računanja spektralne dekompozicije simetričnih matrica reda 3 i 4. Pritom smo dali upute o minimalnom broju i redoslijedu rotacija s obzirom na ravnine u kojima rotiraju. Algoritam za direktno računanje pripadnih rotacijskih kutova ψ_i izazovan je istraživački problem.

Autori zahvaljuju anonimnim recenzentima na korisnim primjedbama koje su poboljšale kvalitetu ovog rada.

Literatura

1. Uvod u kosinus-sinus dekompoziciju
2. Singularna dekompozicija matrice reda dva
3. CS dekompozicija ortogonalnih matrica reda 2 i 3
4. CS dekompozicija ortogonalne matrice reda 4
5. Jedna primjena CS dekompozicije
Literatura