vizualni dokazi

Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (3.dio)

 
Darko Veljan,
redoviti profesor (u miru) Matematički odsjek PMF-a Sveučilišta u Zagrebu
Ivana Marušić,
Veleučilište u Bjelovaru

 






Uvod

Kao u prethodna dva članka nastavljamo s vizualnim i kratkim dokazima. Ovaj članak, kao i prethodna dva, posvećujemo našim dragim prijateljima, učiteljima i profesorima Borisu Pavkoviću (1931.-2006.) i akademiku Sibi Mardešiću (1927.-2016.). Kao njihovi studenti, koautori i kolege znamo da su obojica voljela i cijenila kratke, elegantne i jednostavne dokaze.

1Jednakostranični trokut na šahovskoj ploči ?

Nema jednakostraničnog trokuta u vrhovima iz šahovske ploče (točnije u vrhovima \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}=\mathbb{Z}^{2}).

(a)
 

(b)

Slika 1: Trokut u čvorovima mreže \mathbb{Z}^{2}

Iz slike 1a nije jasno zašto nema jednakostraničnog trokuta u čvorovima mreže \mathbb{Z}^{2}, ali ako pogledamo sliku 1a vidimo da je tangens kuta trokuta kod vrha O=A jednak \operatorname{tg} A=\frac{q}{p}, dakle racionalan broj. Nije sasvim jednostavno, ali se može pokazati da vrijedi sljedeći nužan i dovoljan uvjet za postojanje trokuta u cjelobrojnoj mreži. Postoji trokut s vrhovima u \mathbb{Z}^{2} ako i samo su tangensi svih kutova racionalni brojevi. Kako je tangens jednakostraničnog trokuta iracionalan, (\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}) slijedi negativan odgovor na upit u naslovu.
Zanimljivo postoji jednakostraničan trokut (s vrhovima) u kubičnoj cjelobrojnoj rešetki \mathbb{Z}^{3}. Recimo, trokut (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) je takav. Zato postoji jednakostraničan trokut u \mathbb{Z}^{3} \subset \mathbb{Z}^{4} \subset \mathbb{Z}^{5} \subset \cdots. Slično se vidi da ne postoji pravilni tetraedar u \mathbb{Z}^{3}, ali postoji u \mathbb{Z}^{4} \subset \mathbb{Z}^{5} \subset \cdots. U \mathbb{Z}^{4} je to npr. (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1). I slično u drugim dimenzijama.
Vratimo se još na sliku 1b i trokut \triangle ABC. Kut kod B također ima racionalni tangens, jer je

(1)
\operatorname{tg} B=\frac{q}{b-p} \in \mathbb{Q}.

Zbog A+B+C=\pi slijedi

(2)
\operatorname{tg} C=\operatorname{tg} (A+B),

pa zbog adicijske formule za tangens slijedi da je i

(3)
\operatorname{tg} C \in \mathbb{Q}.

U geometriji rešetaka (zanimljivi su i u fizici) ima još niz otvorenih problema.

2Fibonaccijevi brojevi i Candidov identitet

Jedna od središnjih tema u kombinatorici jest ponavljanje istih postupaka odnosno rekurzivni pozivi tj. rekurzija. Rekurzija kaže kako se unaprijed zadana shema ponavlja na isti način sve u beskraj. Slikovito rečeno to je apstraktni pogon za vrtnju kotača koji uzrokuje napredovanje uz ponavljanje istog postupka (vrtnje) ili zumiranje (što daje fraktale itd.). Suhoparna i izlizana fraza kaže da je rekurzija formula kojom se član niza izražava pomoću prethodnih članova niza. Jedna od najjednostavnijih i najpoznatijih rekurzija je ona koja definira Fibonaccijeve brojeve. O njima postoje brojne knjige, članci, časopisi, internetske stranice itd., a na hrvatskom knjige [11] i [17].
Ukratko, za one koji još ne znaju, Fibonaccijev niz je definiran s F_{0} = 0, F_{1} = 1 te F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}. Dakle, niz počinje s 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597, 2584,\cdots. Omjerima susjednih članova \frac{F_{n+1}}{F_{n}} često možemo protumačiti neke pojave u prirodi a limes

(4)
\lim_{n \to \infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\varphi =\frac{1+\sqrt{5} }{2}\approx 1.618 \ldots,

se naziva \textit{zlatni omjer (ili zlatni rez)}. On se dobije iz osnovne rekurzije dijeljenjem s F_{n}:

(5)
\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=1+\left( \frac{F_{n}}{F_{n-1}} \right)^{-1},

odakle prelaskom na limes slijedi \varphi=1+\frac{1}{\varphi} tj. \varphi^{2}=\varphi +1. Jedna od formula je

(6)
F_{n}=\lceil \frac{1}{\sqrt{5}} \varphi^{n} \rceil,

a kombinatornih značenja je mnoštvo; primjerice nizova 0 i 1 duljine n ali bez susjednih nula ima F_{n+2}. To je važno npr. u računarstvu.
F_{n+1} je broj načina da se n napiše kao uređeni zbroj brojeva 1 i 2. Ne zna se ima li beskonačno prostih Fibonaccijevih brojeva.



Slika 4: Pođemo od jednakostraničnog \triangle ABC i polovišta P, Q, R. Produžimo \overline{PQ} do \overline{XY}. Tada je \frac{|PQ|}{|QY|}=\varphi; tj. stranica PQ većeg trokuta prema manjem je zlatni omjer.


Slika 5: Najjednostavnija konstrukcija zlatnog reza. Na osi y unesemo točku A, |OA|=1. P je polovište \overline{OA}. |PM|=1, M na osi x. Q je polovište \overline{PM}. |QN|=1, N na osi x. M dijeli \overline{ON} u zlatnom rezu.

Giacomo Candido (1871- 1941) je dokazao identitet (objavljen tek 1951. godine):

(7)
\left( F_{n-1}^{2} +F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2} \right)^{2}=2\left( F_{n-1}^{4}+F_{n}^{4}+F_{n+1}^{4} \right) .

Riječima: kvadrat sume kvadrata tri uzastopna Fibonaccijeva broja je dvostruka suma njihovih četvrtih potencija. Iz osnovne rekurzije

(8)
F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}

slijedi da je trokut čije su duljine stranica ti brojevi degeneriran pa mu je površina 0. Razlika lijeve i desne strane u (1) je prema Heronovoj formuli jednaka nuli. To dokazuje Candidov identitet (1).
Primijetite da iz istih razloga možemo poći od bilo koja dva realna broja a i b i njihovog zbroja a+b i dokazati Candidov identitet (koji vrijedi i u svakom komutativnom prstenu):

(9)
\left( a^{2}+b^{2}+\left( a+b\right)^{2}\right)^{2}=2\left( a^{4}+b^{4}+ \left(a+b \right)^{4}\right).

Ako Candidov identitet primijenimo na Pitagorin poučak a^{2}+b^{2}=c^{2}, dobivamo:

(10)
\left( a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)^{2}=2\left( a^{8}+b^{8}+ c^{8}\right)

ili kratko

(11)
p_{4}^{2}=2p_{8},

gdje je p_{n} suma n-tih potencija. Riječima: kvadrat sume četvrtih potencija je dvostruka suma osmih potencija. To je nužan i dovoljan uvjet da je trokut pravokutan.
\underline{\textit{Pascalova formula}} za binomne koeficijente:

(12)
{ n+1 \choose k }={ n \choose k }+{ n \choose k-1 }.

Iz Candidovog identiteta dobivamo ”zabadava” potpuno simetričan Pascal :

(13)
\left[{ n+1 \choose k }^{2}+{ n \choose k }^{2}+{ n \choose k-1 }^{2}\right]^{2}=2\left[ { n+1 \choose k }^{4}+{ n \choose k }^{4}+{ n \choose k-1 }^{4} \right].

Još jedan primjer iz kombinatorike je \textit{Padovanov niz}P_{n}:

(14)
1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21, \ldots

u kojemu je svaki član (osim prva tri) zbroj drugog i trećeg prethodnog člana; dakle

(15)
P_{n+2}=P_{n}+P_{n-1}.

Iz istih razloga kao kod Fibonaccijevih brojeva i Padovanovi brojevi zadovoljavaju identitet Candidovog tipa.

(16)
\lim_{n\to \infty}\frac{P_{n+1}}{P_{n}}=p,

gdje je p^{3}=p+1. Broj p naziva se \textit{plastični broj}, p\approx 1.3247\ldots , P_{n} je broj načina da se n+2 napiše kao uređeni zbroj od brojeva 2 i 3.
Varijanta Candidovog identiteta također se dobiva iz Heronove formule

(17)
\left( 4S\right)^{2}=2s\left( 2s-2a \right)\left(2s-2b \right) \left(2s-2c \right)=e_{1}\left(4e_{1}e_{2}-e_{1}^{3}-8e_{3} \right),

gdje su e_{1}=a+b+c, e_{2}=ab+bc+ca, e_{3}=abc elementarne simetrične funkcije od a, b, c. Dakle, ako je trokut degeneriran, recimo c=a+b, onda je površina S=0, pa je

(18)
4e_{1}e_{2}-e_{1}^{3}-8e_{3}=0,

tj. stavimo li e_{1}=2s, u terminima poluopsega s imamo

(19)
s^{3}+e_{3}=se_{2} .

Uočite da za svaki trokut (običan ili degeneriran) vrijedi

(20)
s^{3}+e_{3}\leq se_{2},

tj.

(21)
\left( \frac{a+b+c}{2} \right)^{3}+abc\leq \frac{a+b+c}{2}\left( ab+bc+ca \right)

Dakle,

(22)
a+b=c \Longrightarrow e_{1}^{3}+8e_{3}=4e_{1}e_{2}.

To je \textit{kubni Candidov identitet}.
Metoda ”volumen-nula” je izvor za raznovrsne geometrijske identitete i formule.



Slika 6: Jednakostraničan trokut \triangle ABC i u njemu točka D

Primjerice, ako je \triangle ABC na slici 6 jednakostraničan, a D točka \triangle ABC onda dobivamo simetrični identitet nalik Candidovom (uzmimo na slici 8 da je U=V=W=a, u=b, v=c, w=d):

(23)
\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right)^{2}=3\left( a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4} \right).

Najmanje netrivijalno cjelobrojno rješenje je (3,5,7,8), a još jedno je (57,65,73,112). Opći identitet tog tipa mogli bismo zvati ”3D-Candidov identitet”. O brojevno-teorijskim posljedicama Candidovih identiteta i sličnih problema više u [18].
Trokut s cjelobrojnim duljinama stranica (a,b,c) i cjelobrojnim površinama P naziva se \textit{Heronov trokut}; npr.”egipatski” (3,4,5) pa i svi Pitagorini (vidjeti [2]) jer su oni višekratnici od (m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2}). Heronov je trokut površine nula i (F_{n-1}, F_{n}, F_{n+1}). Pravi primjeri su i (5,5,6), (5,29,30), (4,13,15), (13,14,15), (5220,900,5400) itd. S Heronovim su se trokutima bavili Brahmagupta u 9. st. i Euler i mnogi drugi (a bila je to i omiljena tema prof. dr. sc. Borisa Pavkovića o čemu smo svojedobno pisali). Napominjemo da s Heronovim trokutima ima još mnogo otvorenih pitanja iz teorije brojeva. A još je složenija priča s \textit{Heronovim tetraedrima} i \textit{Heronovim simpleksima}. Od interesa su ne samo u geometriji i teoriji brojeva, nego i u fizici, kemiji i informatici. Npr. Heronov tetraedar je (vidjeti sliku 8):

(24)
(U,V,W)=(11,15,16,),\ \ \ u=w=11, \ \ \ v=15.

Površine svih strana i volumen su mu cijeli brojevi. Nedavno 2014. godine dokazano je da Heronov tetraedar uvijek možemo smjestiti u 3D prostor \mathbb{R}^{3} tako da su mu vrhovi u cjelobrojnoj rešetki \mathbb{Z}^{3}.

3O Fermatovoj jednakosti

Poznatu Fermatovu1 tvrdnju, poznatu kao ”Fermat' s last theorem” (FLT) iz 1637. godine da jednadžba

(25)
a^{n}+b^{n}=c^{n}

nema rješenja za prirodne brojeve a, b, c i n\geq 3, dokazana je tek 1995. godine. Dokaz je dao A. Wiles i za to dobio Abelovu nagradu 2016. godine (v. [27]). Taj je dokaz vrlo zamršen i rabi suvremene alate iz teorije eliptičkih krivulja, algebarske geometrije i drugih područja.
Pogledajmo za početak slučaj n=3 tj.

(26)
a^{3}+b^{3}=c^{3}.

FLT je dovoljno dokazati za neparne proste brojeve n=p i n=4. Dokaz za n=4 je jedini slučaj (kao i za tzv. proste brojeve Shopie Germain) za koje je odavno poznat relativno jednostavan elementarni dokaz [2]. Jedna primjedba kaže i da nema ”elementarnog dokaza” FLT, jer kad bi postojao, onda bi rabeći samo operacije zbrajanja i množenja to vrijedilo i u komutativnom prstenu tzv. p-adskih brojeva, a tamo je poznato da Fermatova jednadžba ima rješenja za svaki n. No, pokažimo barem u kratkim crtama da Fermatova jednadžba za polinome s potencijama n\geq 3 nema (netrivijalnih) rješenja. To je prvi dokazao J. Liuoville oko 1880. godine, ali suvremeniji dokaz je posve drugačiji. Prvo je tu lema Masona iz 1984. godine, a kaže sljedeće: neka su a=a(x), b=b(x) i c= c(x) relativno prosti polinomi s cijelim koeficijentima za koje je a+b=c i koji nisu svi konstante. Tada su stupnjevi deg \ a, deg\ b, deg \ c\lt n_{0}(abc). Pritom za polinom

(27)
f(x)=a(x-x_{1})^{r_{1}} (x-x_{2})^{r_{2}}\cdots(x-x_{k})^{r_{k}},

broj n_{0}(f)=k=deg \ rad(f), gdje je rad (f)=(x-x_{1})\cdots(x-x_{k}). tj. n_{0}(f) je broj različitih korijena (nultočaka) od f. Nadalje, n_{0}(const)=0 ako je const\ne 0, te n_{0}(0)=-\infty=deg (0). Ako f nema višestrukih korijena onda je n_{0}(f)=deg \ f, a inače n_{0}(f)\lt deg \ f. Višestruke derivacije detektiraju višestruke korijene polinoma, pa se gledaju derivacije a'+b'=c'. Da se dokaže ključna nejednakost

(28)
deg(a+b)=deg\ c \lt n_{0}(abc),

u suprotnom bi se dobile kontradikcija tipa ”1\geq 2” ili ”-\infty\geq 0”. Nećemo ulaziti u pojedinosti, ali dokaz nije težak (pokušajte indukcijom po m=deg \ a + \deg \ b \geq 3). Očito da jednadžba

(29)
f^{n}+g^{n}=h^{n}.

ima rješenja za n=1 i n=2, gdje su f, g, h relativno prosti polinomi.
Pretpostavimo da su f, g i h relativno prosti polinomi nad \mathbb{Z} i bar jedan od njih ne konstantan, tako da je

(30)
f^{n}+g^{n}=h^{n}.

Tada je n\leq 2. Doista, prema Masonovoj lemi, stupnjevi od f^{n}, g^{n} i h^{n} su najviše

(31)
\deg \ f + \deg \ g+ \deg \ h-1 ,

a taj je broj \geq 0. Zbrojimo li tri nejednakosti dobivamo da je

(32)
n(\deg \ f + \deg \ g+ \deg \ h) \leq 3(\deg \ f + \deg \ g+ \deg \ h )-3 .

Ovo povlači n\leq 2.
Vrijedi i općenitije. Diofantska polinomska jednadžba

(33)
f^{k}+g^{l}=h^{m}.

za 2\leq k \leq l \leq m može imati rješenja samo za (k,l, m)=(2,2,m), (2,3,3), (2,3,4) i (2,3,5).
Dokaz nije težak i slijedi iz Masonove leme. Prepuštamo ga čitatelju.

4Iz geometrije tetraedra

Ono što je trokut u ravnini, to je tetraedar u prostoru. Neka je T=ABCD tetraedar s bazom \triangle ABC i pripadnim stranicama (bridovima) a, b, c i nasuprotnim bridovima a', b' i c' (a' nasuprot a itd.) iz vrha D. Neka su nadalje \hat{a}, \hat{b}, \cdots, \widehat{c^{\backprime}} diedralni kutovi od T, tj. \hat{a} =\widehat{BC}=kut među ravninama BCA i BCD itd. Nadalje, neka je \hat{ab} plošni kut između a i b, tj. \hat{ab}= \angle BCA itd. (vidjeti sliku 7). U geometriji trokuta znamo ako nam je dana baza i dva kuta uz bazu kako izračunati ostale stranice (sinusov i kosinusov poučak). Kako postupiti u analognoj situaciji u tetraedru? Neka nam je zadana baza \triangle ABC od T i diedralni kutovi \hat{a}, \hat{b}, \hat{c} na tu bazu. Izračunajmo c', vidjeti sliku 7 (pretpostavimo da su svi vrhovi različiti).
\underline{\text{Poprečni brid tetraedra pomoću baze i kutova na bazu - ''cot zakon''.}}

(34)
X^{2}=\left(\frac{ab}{\sum a\ \text{cot} (\hat{a})} \right)^{2} (\text{cot} ^{2}(\hat{a})+\text{cot}^{2}(\hat{b})+2\text{cot} (\hat{a})\text{cot} (\hat{b})\cos (ab)+\sin^{2}(\hat{ab})) ,

pri tom je

(35)
\sum a\ \text{cot} (\hat{a})= a \ \text{cot} (\hat{a}) + b\ \text{cot}(\hat{b})+c \ \text{cot} (\hat{c}).


Slika 7: Tetraedar ABCD


Neka je V= vol (T) i (ABC)=površina(\triangle ABC), h_{a} visina iz D na \overline{BC} itd., a h visina iz D na ABC. Tada je h_{a}\sin (\hat{a})=h=\frac{3V}{(ABC)}. Iz

(36)
\sum \frac{1}{2} a\ h_{a} \cos (\alpha)=(ABC)

slijedi

(37)
2(ABC)^{2}=3V\sum a \ \text{cot}(\hat{a}) .

Odnosno sama tvrdnja. Detalje prepuštamo čitatelju, a ima i drugih izvoda [28]. Ova formula je analogon K-S-K (kut-stranica-kut) pravila, odnosno poučka za trokut.\underline{\text{Diedralni kut pomoću ravninskih kutova (ili pomoću bridova).}} Izračunajmo diedralni kut \widehat{c^{\backprime}} pomoću ravninskih kutova \alpha, \beta, \gamma kod vrha D kao na slici 7.

(38)
\text{cot}(\widehat{c^{\backprime}})=\frac{\cos \gamma-\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \cos \beta} .

\underline{\text{Dokaz.}}
Promatramo jediničnu sferu oko D i i primijenimo sferni kosinusov poučak [2]. Ako želimo sve izraziti pomoću bridova, upotrijebimo obične kosinusove zakone.
\underline{\text{Kosinusov poučak za tetraedar (S-K-S pravilo).}}
Neka su zadani a, b, c, a', b' i diedralni kut \hat{c} nasuprot brida c\ '. Riječima, zadano je pet bridova i diedralni kut nasuprot nedostajećem bridu. Tada je nedostajeći brid tetraedra dan s:

(39)
{c \ '}^{2}=(a' )^{2} +b^{2}-2{a} ' b\left(\cos \alpha \cos \alpha ' +\sin {\alpha } ' \cos (\hat{c}) \right) ,

gdje je \alpha=\angle BAC, {\alpha }' = \angle DAB (tj. \alpha=\hat{bc}, {\alpha } '=\hat{{a} ' c}) i vrijedi

(40)
\cos \alpha= \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2} }{2bc},\ \ \ \cos {\alpha} '=\frac{{a '}^{2}+c^{2}-{b '}^{2}}{2{a}'c}.

\underline{\text{Dokaz.}}
Neka su h_{C}=|C{C}'| i h_{D}=|D{D} '| visine iz C i D redom do |AB|. Neka je {C}'' četvrti vrh pravokutnika određenog s D\ 'C\ 'C. Tada je

(41)
({c} ')^{2}=|CD|^{2}=|{C} '{D} '|^{2}+|D{C}'' |^{2}.

Uočimo

(42)
|{C} '{D} '|=|A{C} '|-|A{D}' |=b\cos \alpha - {a} ' \cos {\alpha} '.

Iz kosinusovog poučka u \triangle D{D} '{C} '' za stranicu D{C} '' nasuprot kuta \angle D{D} '{C} '' (=\hat{c}, diedralni kut kod c=\overline{AB}) imamo

(43)
|D{C} ''|^{2}=\left(b\cos \alpha \right)^{2}+\left( {a} ' \sin {\alpha} '\right)^{2}-2b{a} ' \sin \alpha \sin {\alpha} ' \cos (\hat{c}).

Iz ovih dviju formula slijedi tvrdnja. \underline{\text{Volumen tetraedra pomoću bridova.}}
Heronova formula (iz prvog stoljeća, a navodno već poznata Arhimedu 300 godina ranije) računa površinu trokuta pomoću stranica. Piero della Francesca2 je u 15. stoljeću poznavao formulu za volumen (obujam) tetraedra pomoću bridova. Ta formula s dokazom se može pronaći u [2]. No mnoge činjenice iz geometrije pronaći ćete također u [26].
Cayley-Mengerova formula računa volumen n-dimenzionalnog simpleksa vol^{2}(\Delta^{n}). Formula glasi

(44)
vol^{2}(\Delta^{n})=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n} \cdot( n!) ^{2}}\ det \ M_{0},

gdje je blok matrica

(45)
M_{0}=\begin{bmatrix} 0 &e^{T}\\ e & M \end{bmatrix},

pri čemu je e stupac od n+1 jedinica, e^{T} transponirana od e, a M=\left[ (a_{ij})^{2} \right], i,j=1,2,3,\cdots, n+1. Pri tome je \Delta^{n}=A_{0}A_{1}\cdots A_{n}n-simpleks, a_{ij}=d(A_{i},A_{j}) duljina brida \overline{A_{i}A_{j}} simpleksa. Dokaz možete naći u[15].
Ako je R radijus opisane kugle tetraedra T, onda je (slika 8)

(46)
\left( 24 \ R\ vol(T) \right)^{2}=\left( uU+vV+wW \right)\left(-uU+vV+wW \right)\left( uU-vV+wW\right) \left( uU+vV-wW \right).

Eulerova formula (iz 1752. godine) za volumen tetraedra sa slike 8:

\begin{eqnarray} \left( 12 \ vol(T) \right)^{2}&=&\left( 2uvw \right)^{2}-u^{2}\left(v^{2}+w^{2}-U^{2} \right)^{2}-v^{2}\left(w^{2}+u^{2}-V^{2}\right)^{2}- w^{2}\left( u^{2}+v^{2}-W^{2} \right)^{2} + \\ &&+\left(v^{2}+w^{2}-U^{2} \right)\left( w^{2}+u^{2}-V^{2} \right)\left( u^{2}+v^{2}-W^{2} \right). \nonumber \end{eqnarray}


Slika 8: Tetraedar T

Zna se da je taj polinom ireducibilan (kao i u dimenzijama \geq 3) pa se ne može očekivati neka formula u vidu produkta kao kod Herona.
Međutim, Kahaneova formula (1985. godina) za volumen tetraedra glasi:

\begin{eqnarray} &X&=\left( -U+v+w \right) \left(U+v+w \right), \ \ \ x=\left( U-v+w \right)\left( U+v-w \right), \\ &Y&=\left( u-V+w \right) \left( u+V+w \right), \ \ \ y=\left(u+V-w \right)\left( -u+V+w \right), \nonumber \\ &Z&=\left(u+v-W \right) \left( u+v+W \right), \ \ \ z=\left( -u+v+W \right)\left( u-v+W \right), \nonumber \\ &a&=\sqrt{xYZ}, \ \ \ b=\sqrt{yXZ},\ \ \ c=\sqrt{zXY}, \ \ \ d=\sqrt{xyz}. \nonumber \end{eqnarray}

 

(47)
\left( 3\cdot2^{6} vol(T) \right)^{2}=\left( -a+b+c+d\right)\left(a-b+c+d \right)\left( a+b-c+d\right) \left(a+b+c-d\right).

S-tetraedar je tetraedar kojemu su strane sukladni trokuti. Tetraedar T sa slike 8 je S-tetraedar \Longleftrightarrowu=U, v=V, w=W (nasuprotni bridovi jednaki) \Longleftrightarrow sve strane imaju jednake površine \Longleftrightarrow opsezi svih strana jednaki \Longleftrightarrow težište i središte opisane kugle se podudaraju \Longleftrightarrow težište i središte upisane kugle se podudaraju \Longleftrightarrow nasuprotni bridovi imaju jednake diedralne kutove itd.
Evo još malo tema iz geometrije tetraedra (bez dokaza). Prvo postoji sfera koja dodiruje sve bridove tetraedra (T) na slici 8 ako i samo ako su zbrojevi duljina nasuprotnih duljina jednaki (u+U=v+V=w+W na slici 8).
Geometrija simpleksa (trokuti, tetraedri, n-dimenzionalni analogoni) je dakako još složenija (vidjeti [15]) i mnoga pitanja su još nerazjašnjena iako geometrijski dosta jasna. Tako se primjerice niti danas ne zna općenito je li simpleks određen s duljinama nekih bridova (barem jednog) i diedralnim kutovima nasuprot bridova koji ne dostaju ili npr. tek je 2000. godine dokazano da ako n-simpleks za n\geq 4 ima jednake površine svih 2-strana (trokuta) onda je simpleks pravilan. Godine 2014. dokazano je da za n\geq 4 kvadrat volumena n-simpleksa zadovoljava (netrivijalnu) polinomsku relaciju čiji koeficijenti ovise o kvadratima površina njegovih 2-strana (za n=4, min stupanj 32). Zanimljiva je (odavno poznata) formula za volumen n-simpleksa pomoću niže dimenzionalnih volumena njihovih strana i jednog diedralnog kuta

(48)
nV_{n}V_{n-2}^{(ij)}=(n-1)V_{n-1}^{(i)}V_{n-1}^{(j)}\sin \varphi_{ij}.\\

gdje je V_{n} volumen n-simpleksa, V_{n-2}^{(ij)} je volumen strane bez dva vrha i, j, V_{n-1}^{(i)} volumen strane bez vrha i (slično V_{n-1}^{(j)}), a \varphi_{ij} diedralni kut uz brid ij.
Iako je volumen simpleksa teško egzaktno izračunati, postoje oštre nejednakosti. Jedna od njih je

(49)
2^{n}\left( n! V \right)^{2}\leq (n+1)\left( \prod_{0\leq i \lt j \leq n}a_{ij} \right)^{\frac{4}{(n+1)}},

s jednakošću samo za pravilni simpleks. Volumen pravilnog tetraedra tj. pravilne trostrane piramide brida a je V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}, dakle oko 11.8\ \% volumena kocke brida a.



Zaključak


Nakon ove kraće šetnje kroz odabrane matematičke teme, kažimo da je matematika - ”kraljica znanosti” (kako ju je zvao Gauss, a njega su zvali ”princ od matematike ”), danas vrlo ”živa i zdrava” i primjenjiva sve više i više. Brojne su i nagrade za doprinose novim spoznajama, a najprestižnija je već spomenuta \textit{Abelova nagrada} koja se dodjeljuje od 2002. godine. Ona je jednako vrijedna Nobelovoj nagradi u drugim znanostima i umjetnosti. O Abelovoj nagradi više u [16], [19] i [20] te [27] . Vrlo je prestižna i \textit{Fieldsova medalja} koja se dodjeljuje svake četvrte godine prilikom međunarodnih matematičkih kongresa, a dobitnici moraju biti mlađi od 40 godina. Prvi je put dodijeljena 1932. godine.
I hrvatska matematika je živahna što pokazuje i 6. Kongres hrvatskih matematičara, Zagreb, 14.-16. lipnja 2016. Ali hrvatska matematika je bila živahna i u davna doba, što pokazuje i bogati riječnik koji su rabili ”naši stari”. U to se možemo uvjeriti i uvidom u potrazi za nazivima, primjerice u rječniku latinsko-horvatskom iz 1835. godine jezikoslovca Ivana Belostenca. Predloženo je u to doba da se riječ matematika (koja dolazi od starogrčke riječi mathema - saznanje, dakle naprosto znanost) prevede kao oloslovlje prema staroj riječi olina - količina, veličina. Kasniji prijedlog je bio velkoumjenje. No, oba su prijedloga očito propala. Triangolo je preveo kao trojvugel, parni i neparni brojevi su tahi i lihi, kvadrat je četvorina itd. Neki od starijih hrvatskih naziva su još: parabola-hitnica, elipsa-pakružnica, hiperbola-kosatica, eksponent-izložitelj, logaritam-omjerobroj, tetraedar-četverostran, permutacija-premjestica itd. Mnogi su od tih naziva već uključeni u knjigu \textit{Aritmetika Horvatzcka} iz 1758. godine. A neke je od tih pojmova na prijelazu 19. u 20. st. rabio i hrvatski matematičar Vladimir Varićak (1865.-1942.), v. [21], koji je među prvima uočio kako se Einsteinove formule iz teorije relativnosti mogu tumačiti i zapisati u terminima hiperboličke geometrije. S Einsteinom je razmijenio desetke pisama.
I naš dragi prijatelj i koautor Boris Pavković je bio ”sladokusac” starohrvatskih matematičkih naziva. O tome i njegovim postignućima i šarmantnim i duhovitim dosjetkama - drugom prilikom.
Spomenimo i preporučimo na kraju knjigu na hrvatskom jeziku o popularnoj i svagdašnjoj matematici [22] te jednu suvremenu knjigu o ”trojveugelima” [23].
Na kraju navodimo i nedavno izašli pregledni i povijesni prekrasan članak [24] Johna Milnora, dobitnika Abelove nagrade 2011. godine i Fieldsove medalje 1962. godine ([16]). Milnorove smo radove i knjige iz topologije čitali , proučavali i učili iz njih mnogi od nas: Mardešić, Pavković i drugi.
I na samom koncu, svaki naš diplomirani matematičar morao bi pročitati prekrasnu i nadasve zanimljivu knjigu akademika Sibe Mardešića [25]. Iz nje ćete naučiti ne samo o njegovoj matematici, nego i o umjetnosti, mudrostima, prirodnim i društvenim fenomenima i mnogo čemu ostalome.

Bibliografija
[1] B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 1, Školska knjiga, Zagreb, 2004.
[2] B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 2, Tehnička knjiga, Zagreb, 1995.
[3] I. N. Bronštejn, suradnici: Matematički priručnik, Tehnička knjiga, Zagreb, 2004.
[4] S. Mardešić: Sjećanje na profesora Borisa Pavkovića (1931.-2006.), Glasnik Matematički, 41 (61) (P) (2006.), 414-415.
[5] V. Volenec: Popis i opis znanstvenih radova prof. dr. sc. Borisa Pavkovića, Glasnik Matematički, 41 (61) (P) (2006.), 411-413.
[6] D. Veljan: The 2500-year -old-pythagorean theorem, Mathematics Magazine, 73 No. 4 (2000.), 259-272.
[7] D. Veljan: The AM-GM inequality from different viewpoints, Elem. Math. 72 (2017), 24-34.
[8] D. Svrtan, D. Veljan: Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities, Forum Geometricorum, 12 (2012.), 197-209.
[9] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya: Inequalities, 2nd. ed. , Cambridge University Press, Cambridge, 1952.
[10] J. M. Steele: The Cauchy-Schwarz Master Class, MAA, Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
 
[11] D. Veljan: Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2001.
[12] D. Veljan: Čarobne četvorine (iliti magični kvadrati), Poučak,15 (57) (2014.), 12-23.
[13] C. A. Pickover: Wonders of Numbers, Oxford University Press, New York, 2002.
[14] C. A. Pickover: The Math Book, Sterling, New York, 2009.
[15] M. Fiedler: Matrices and Graphs in Geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 2011.
[16] D. Veljan: John Milnor - dobitnik Abelove nagrade za 2011. godinu, Matematičko-fizički list, 62(2011.), 172-176.
[17] A. Dujella: Fibonaccijevi brojevi, HMD, Zagreb, 2000.
[18] T. Koshy: Pell and Pell–Lucas Numbers with Applications, Springer, New York, 2014.
[19] D. Veljan, J. Nash i L. Nirenberg: Abelovci za 2015. godinu, Matematičko fizički list, 66 (2015.), 31-36.
[20] M. Raussen, C. Skau : Interview with Abel Laureate John F. Nash Jr., Notices of the AMS, 63 (5),(2016.), 486-491.
[21] D. Veljan : Matematičar i teorijski fizičar, akademik Vladimir Varićak, Prirodoslovlje 16(2016.), 125-152.
[22] D. Klobučar : Matematika naša svagdašnja I, II, Element , Zagreb, 2014.
[23] B. J. McCartin: Mysteries of the Equilateral Triangle, (javno dostupno na: http://www.m-hikari.com/mccartin-2.pdf, 7.2.2017.)
[24] J. Milnor : Topology through the centuries: Low dimensional manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (4) (2015.), 545-584.
[25] S. Mardešić : Kako sam postao i ostao matematičar, Hrvatska sveučilišna naklada, Zagreb, 2016.
[26] D. Veljan, V. Volenec: Matematika 3, Školska knjiga, Zagreb, 1998.
[27] I. Gusić: Andrew Wiles dobio Abelovu nagradu, Matematičko-fizički list, 67(2016.), 7-13.
[28] D. Svrtan, D. Veljan: Side lengths of Morley triangles and tetrahedra, Forum geometricorum, 17(2017), 123-142.
 


 

Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (2.dio)

Darko Veljan,
redoviti profesor u miru
Ivana Marušić,
Veleučilište u Bjelovaru

 





Uvod

Za podučavanje matematike potrebna je kreativnost, maštovitost, odlučnost, upornost, dosljednost i marljivost. Istim riječima možemo opisati i vizualne dokaze koji su posebno dragi učenicima, studentima, nastavnicima i svima onima koji vole matematiku. Koristeći stara znanja dolazimo do novih ideja i u ovom članku prikazat ćemo neke od vizualnih kratkih i elegantnijih dokaza.
Ovaj članak, kao i prethodni, posvećujemo našim dragim prijateljima, učiteljma, profesorima Borisu Pavkoviću (1931.-2006.) i akademiku Sibi Mardešiću (1927.-2016.).

1Eulerova nejednakost

Eulerova nejednakost koja datira iz 1765. godine glasi: opisana kružnica trokuta je barem dvostruko duža od upisane kružnice, odnosno

 
(1)
R2r.
 


Slika 1: Upisana i opisana kružnica trokutu ABC


 

Površina trokuta

 
(2)
P=abc4R=rs=s(s-a)(s-b)(s-c),
 

pri čemu je s=12(a+b+c).

 
(3)
R2r    abc8(s-a)=x(s-b)=y(s-c)=z    (x+y)(y+z)(z+x)8xyz.
 

Primjenom aritmetičko-geometrijske nejednakosti

 
(4)
x+y2xy
 

i dvije slične dobivamo zadnju nejednakost. Jednakost u Eulerovoj nejednakosti postiže se ako i samo ako je trokut jednakostraničan.. Napomenimo usput da A-G nejednakost za tri varijable daje

 
(5)
(s-a)(s-b)(s-c)s33.
 

Stoga za površinu trokuta imamo

 
(6)
P=s(s-a)(s-b)(s-c)s233.
 

To je izoperimetrijska nejednakost za trokut s jednakošću ako i samo ako je trokut jednakostraničan. Koristeći A-G nejednakosti, Eulerova nejednakost ima i hiperboličku verziju (za trokute kojima se može opisati kružnica) koja glasi

 
(7)
tanh(R)2tanh(r)
 

i slično za sfernu geometriju (v.[8]). Za n-dimenzionalni euklidski simpleks Eulerova nejednakost je

 
(8)
Rnr.
 

Dokaz je neočekivano jednostavan; provodimo ga u dimenziji n=3 (iako doslovce isti dokaz ide u svim dimenzijama). Neka je Δ=Δ(v0,v1,v2,v3) tetraedar i R=R(Δ) radijus opisane mu kugle. Neka je ci težište (tj. radijvektor centroida) strane tetraedra nasuprot vrha (radijvektora) vi. Tada je (kao vektor)

 
(9)
c0=13(v1+v2+v3),
 

itd. Sada je lako provjeriti da su Δ i Δ(c0,c1,c2,c3) slični tetraedri s koeficijentom sličnosti 3, pa je udaljenost

 
(10)
d(ci,cj)=13d(vi,vj),
 

za sve i, j. Iz ove sličnosti slijedi

 
(11)
R=R(Δ)=3R(Δ(c0,c1,c2,c3)).
 

Kugla kojoj je radijus manji od upisane kugle ne može sjeći sve strane tetraedra, pa je stoga

 
(12)
R(Δ(c0,c1,c2,c3))r.
 

Odavde slijedi

 
(13)
R=3R(Δ(c0,c1,c2,c3))3r.
 

Jednakost vrijedi ako i samo ako se radi o pravilnom tetraedru.

2Cauchy-Schwarz-Bunjakovski (CSB) nejednakost

Cauchy-Schwarz-Bunjakovski nejednakost za dva vektora x=(a,b) i y=(c,d), gdje su a, b, c, d realni brojevi, glasi:

 
(14)
a2+b2c2+d2(ac+bd)2.
 

Oslobađanjem zagrada s lijeve i desne strane dobivamo ekvivalentnu nejednakost

 
(15)
ad2+bc22abcd,
 

što je upravo A-G nejednakost za dvije varijable. CSB nejednakost također slijedi iz Fermatovog teorema o dva kvadrata a kaže da je produkt sume dva kvadrata opet suma dva kvadrata ili formulom

 
(16)
a2+b2c2+d2=ac+bd2+ad-bc2.
 

Opća CSB nejednakost

 
(17)
|(x,y)|||x||||y||
 

(to je zapravo posljedica jednakosti ||uv||2=||u||2||v||2, gdje je u=a+bi, v=c+di), slijedi iz dviju jednostavnih geometrijskih činjenica: skalarni produkt (nenul) vektora x, yn

 
(18)
(x,y)=||x||||y||cos(x,y)
 

i

 
(19)
|cos(x,y)|1.
 

S druge pak strane, algebarski dokaz CSB nejednakosti slijedi jednostavno iz Lagrangeovog identiteta

 
(20)
||x||2||y||2=(x,y)2+i<jxiyj-xjyi2.
 

Drugi način da se analitički dokaže CSB nejednakost jest nenegativnost realne kvadratne funkcije

 
(21)
f(t)=i=1nxit+yi2.
 

U svakom slučaju vidimo da su A-G i CSB nejednakosti dva jednakomoćna (ekvivalentna) načela. Dvije svjetske klasične knjige o nejednakostima koje odišu elegancijom su [9] i [10] (a i mi ih navodimo u [7] i [8]). CSB vrijedi i općenitije u bilo kojem vektorskom prostoru (nad poljem realnih ili kompleksnih brojeva) sa skalarnim produktom i glasi |(u,v)|||u||||v||.

3Motzkinov primjer

Navest ćemo jednu lijepu primjenu A-G nejednakosti u algebri. Na 2. svjetskom matematičkom kongresu u Parizu 1900. godine D. Hilbert je postavio čuvena 23 problema (od kojih ni danas neki nisu riješeni, npr. RH - Riemannova hipoteza). Među njima bio je 17. problem koji glasi: je li nenegativni realni polinom zbroj kvadrata racionalnih funkcija? Godine 1927. E. Artin potvrdno je odgovorio na Hilbertov 17. problem, ali je sve do 1967. godine ostalo otvoreno pitanje je li realni nenegativni polinom suma kvadrata realnih polinoma? Tada je E. Motzkin uočio polinom

 
(22)
f=f(X,Y)=X4Y2+X2Y4+1-3X2Y20
 

(zbog A-G nejednakosti), a nije suma kvadrata realnih polinoma. Zaista, pretpostavimo suprotno da je

 
(23)
f=ifi2
 

za neke fiX,Y, i=1,2,3,,n. Očito svaki fi ima stupanj 3, i stoga je svaki fi linearna kombinacija monoma 1, X, Y, X2, XY, Y2, X3, X2Y, XY2, Y3. No, X3 se ne može pojaviti ni u kojem fi, jer bi se inače X6 pojavio u f s pozitivnim koeficijentom. Slično se ne može pojaviti ni Y3 pa ni X2, ni Y2, ni X, ni Y. Preostaje jedino da je fi oblika

 
(24)
fi=ai+biXY+ciX2Y+diXY2 .
 

No tada je

 
(25)
bi2=-3
 

što je kontradikcija.

4Eulerov graf

Vratimo se malo matematičkom čarobnjaku L. Euleru (1707.-1783.). Iako je od 1760-ih gotovo oslijepio, zapravo je tada postajao sve produktivniji. Euler je matematičar s više od 1500 objavljenih radova, što ozbiljnih rasprava, što knjiga. Približio mu se jedino Paul Erd\H os (1913.-1996.) s oko 1500 radova (s preko 500 koautora), više o njemu saznat ćemo u sljedećoj točki. Iako je teško uspoređivati vrijeme Eulera i Erd\H osa, ipak možemo reći da se radi o dva genijalna matematičara koji su živjeli u razmaku od oko 200 godina.
Za tzv. problem sedam mostova u Königsbergu čuo je Euler 1736. godine, ali iako ga je odmah riješio, to je postalo opće poznato mnogo kasnije. Problem ”7 mostova” glasi: može li se, krenuvši od kuće obići 7 mostova, proći svaki most točno jednom i vratiti se kući (vidjeti Sliku 2).)



Slika 2: Slika sedam mostova u Königsbergu i pripadni model u teoriji grafova

Stupanj vrha u grafu je broj bridova koji ulaze (ili izlaze) u vrh. Zbroj stupnjeva svih vrhova (konačnog) grafa je dvostruki broj svih bridova. Na slici 2 vidimo da su stupnjevi svih vrhova pridruženog grafa neparni, a takva (Eulerova) zatvorena šetnja je moguća ako i samo ako je stupanj svakog vrha paran broj (dokaz vidjeti u [11]). Neformalno: koliko ulaza, toliko izlaza u svaki vrh, ukupno paran broj. Ovo se smatra začetkom teorije grafova, a Eulerova formula za poliedre v-b+s=2 (v- broj vrhova, b- broj bridova i s- broj strana konveksnog poliedra) začetkom algebarske topologije.
Kad smo već kod genijalnih matematičara Eulera i Erd\H osa evo i njihova dva manje poznata otvorena problema.
Euler (oko 1770. godine): Postoji li savršen Eulerov kvadar, tj. kvadar (cigla) čiji svi bridovi i sve dijagonale imaju cjelobrojne duljine?
Erd\H os (oko 1970. godine): Ako niz an ima svojstvo da red 1an divergira, sadrži li po volji dugački aritmetički niz? Ako se radi o nizu prostih brojeva, onda je odgovor potvrdan (Green-Tao, 2010.).

5Čarobne četvorine (ili magični kvadrati)

Sve je broj, tumačio je Pitagora svojim sljedbenicima oko 500 g. pr. Kr. S brojevima su bili očarani mnogi ljudi, a naročito matematičari. The Man Who Loved Only Numbers naslov je knjige P. Hoffmana o Paulu Erd\H osu. Kao dijete od 5-6 godina mali bi Paul ljudima računao koliko su sekundi upravo doživjeli (100 godina je 3 milijarde, 153 milijuna i 600 tisuća sekundi) ili koliko bi vlakom trajalo (brzinom od 100 km/h) putovanje od Zemlje do Sunca i sl. Erd\H os i drugi matematički genijalci, primjerice Gauss, Euler, Poincaré i Ramanujan su strjelovito brzo računali. No, isto tako mnogi su umjetnici bili opčinjeni brojevima i njihovim čarolijama. Tako su slikari Albrecht Dürer (1471.-1528.) i njegov suvremenik Leonardo da Vinci (1452.-1519.) bili očarani čarobnim četvorinama (iliti magičnim kvadratima). U tim je tablicama zbroj brojeva u svakom retku, stupcu i dijagonali isti (više o njima u članku [12] i knjizi [14]).

Slika 3:
  
Slika 3:
 
 
 
Slika 3:
  
Slika 3:


Slika 3: Dürerovi magični kvadrati


Slika 8: Magični kvadrat zrcaljenje znamenki
 
Slika 9: Magični kvadrat s prostim brojevima
  
Slika 9: Indijska čarobna četvorina reda 8


Slika 9: Magični kvadrati


Slika 12: Starolatinski slovčani magični kvadrat

Na slici 12 je starolatinski slovčani ”magični kvadrat” koji se jednako čita slijeva, zdesna, odozgo, odozdo, a znači: orač Arepo (ime) s mukom njive ore. Pokušajte zamjenom slova dobiti i po koju hrvatsku čarobinu s nekim značenjem.


Obično se pod magičnim kvadratom reda n3 smatra tablica n×n svih brojeva 1,2,3,,n2 s istim zbrojem svakog retka, stupca i obiju dijagonala; taj je zbroj

 
(26)
n(n2+1)2.
 

Postoji samo jedan magični kvadrat reda 3, svi ostali su dobiveni zrcaljenjem i rotacijom jedan iz drugog. Magičnih kvadrata reda 4 ima točno 880, a reda 5 ima 275305224, a reda 6 približno 1.77451019. Dalje se ne zna, ali se zna da postoje magični kvadrati svakog reda n3 pa tako, primjerice, reda n=googol=10100 pa i reda n=googolplex=10googol, itd. ali i n=googol#googol##googol, gdje je a # b=ab. Možete li zamisliti tako veliki ali ipak ”samo” konačan broj pri čemu ima barem googol simbola # (od googol potječe i riječ ”google”)? Postoje i magični pravokutnici, čarobne (magične) kocke pa i magične 4D-kocke zvane ”tesseract”, itd. U rekreativnoj (ili zabavnoj) matematici razmatraju se i magični trokuti, a umjesto zbroja razmatra se umnožak, itd. Magični kvadrati su u srednjem vijeku nošeni u procesijama kako bi svojom magijom otjerali đavla. Evo na kraju i čarobne šesterokrake zvijezde (vidjeti sliku 3). U svakom njenom vrhu postavljen je neki broj od 1 do 12 tako da su zbrojevi duž svih stranica jednaki 26. Ima i raznih drugih ”magičnih likova”. Poopćenje 6-zvijezde je n-zvijezda i na svakoj crti broj između 1 i 2n s magičnim zbrojem 4n+2.

Slika 13: Šesterokraka zvijezda
  
Slika 13: Davidova zvijezda


Slika 13: Zvijezde

Mogu li se trokuti u prostoru (Davidova zvijezda) kao na slici 3 razdvojiti (podebljani su nadvožnjaci) ? Pokušajte si dočarati i nacrtati tri međusobno ukliještena trokuta (ili kružnice). To su tzv. Borromeo prstenovi i to je i povijesno i matematičko-topološki zanimljiva priča. O tome i drugim matematičko-povijesnim zanimljivostima možete pročitati u [14]. Niz je otvorenih problema u kombinatorici s magičnim likovima.

6Kochova pahuljica i drugi fraktali

Pođimo od jednakostraničnog trokuta i podijelimo mu svaku stranicu na tri jednaka dijela. Ponavljaj: izbaci srednju trećinu i zamijeni je prema van s ostale dvije stranice trokuta (vidjeti sliku 16). Ono što na limesu preostane se naziva Kochova pahuljica. To je primjer svuda neprekidne, a nigdje diferencijabilne krivulje. Njezin je opseg beskonačan, a površine 8/5 prvotnog trokuta. To je jedan od najjednostavnijih primjera fraktalnog skupa ili kraće fraktala.



Slika 16: Kochova pahuljica

Slični primjer fraktala je rupičasti trokut Sierpińskog, koji se dobiva ovako. Ponavljaj: izbaci središnji trokut s time da se pođe od jednakostraničnog trokuta. Na limesu preostaje rupičasti trokut Sierpińskog.



Slika 17: Rupičasti trokut Sierpińskog

Slično se dobiva i rupičasti tepih Sierpińskog tako da se iz kvadrata 3×3 izbaci središnji i one koji s njim dijele crtu i nastavi se tako (dakle, izbacujemo središnji križ od 5 kvadratića). Analogon u 3D je Mengerova spužva, a dobije da se iz kocke 3×3×3 izbacuje središnja i s njom dodirnih 6 kocaka i nastavlja tako u beskonačnost.



Slika 18: Rupičasti tepih Sierpińskog

Fraktalni objekti (tj. samoslični objekti) objekti igraju važnu ulogu u suvremenoj teoriji kompleksnih funkcija, topologiji, dinamičkim sustavima, teorijskoj fizici i drugdje.

7Morleyevo čudo ili Morleyev teorem

Morleyevo čudo ili Morleyev teorem o trisekciji kutova datira iz 1899. godine i kaže sljedeće. Susjedni parovi trisektrisa kutova trokuta čine vrhove jednakostraničnog trokuta. Trisektrisa (ili trodjelnica) dijeli kut na tri jednaka dijela. Prisjetimo se da se bisektrise ili simetrale (polovice) kutova trokuta sijeku u središtu upisane kružnice. Vrlo jednostavni dokaz te činjenice rabi samo sukladnost trokuta.
Dokaz 1. Morleyevog teorema¯.



Slika 19: Jednakostraničan trokut PQR

Neka se trisektrise kutova trokuta ABC sijeku u točkama P, Q i R kao na slici 17 i neka je PQR Morleyev trokut polaznog trokuta ABC. Tvrdimo da je PQR jednokostraničan. U dokazu ćemo rabiti samo sinusov poučak i formulu za trostruki kut (koji se lako dokaže iz adicijske formule):

 
(27)
sin3x=3sinx-4sin3x=4sinxsinx'sinx''
 

gdje je x'=x+π3, x''=(x')'=x+2π3.
Neka su kutovi trokuta A=3α, B=3β, C=3γ ; stoga

 
(28)
α+β+γ=π3.
 

Neka je R radijus opisane kružnice ABC (razlikujte taj R i vrh RPQR). Tada je asinA=2R, itd. Iz sinusovog poučka za ABR i CPQ i ”trostruke formule” dobivamo

 
(29)
|AR|=8Rsinβsinγsinγ '.
 

Slijedi

 
(30)
|CQ|sinβ '=|CP|sinα '=8Rsinαsinβ.
 

Promotrimo trokut s jednom stranicom CQ i kutovima α ', β ' i γ. Iz sinusovog poučka slijedi da je taj trokut sukladan s CPQ. Stoga je

 
(31)
|PQ|=8Rsinαsinβsinγ=8RsinA3sinB3sinC3.
 

Zbog simetričnosti ovog izraza slijedi

 
(32)
|PQ|=|QR|=|RP|,
 

pa je PQR jednakostraničan.
Dokaz 2 (''lov na kutove'')¯.
Taj je dokaz sličan Dokazu 1; rabi sinusov poučak i trostruku formulu i pokazuje da su kutovi trokuta PQR svi jednaki π3 . Prepuštamo ga čitatelju.
Dokaz 3 (planimetrijski).¯.
Zamislimo prvo da je trokut PQR jednakostraničan i produžimo AQ i BP do W, BR i CQ do U, te AR i CP do V. Tada je lako provijeriti da su URQ, VRP i WPQ jednakokračni i da su im kutovi uz baze jednaki A3-π3 itd.
Dakle, da bismo dokazali Morleyjev (ili Morleyev) poučak, pođemo od jednakostraničnog PQR, konstruiramo prema van točke U, V, W s odgovarajućim kutovima uz baze PQ, QR i RP i neka je A sjecište od VR i WQ itd. Tada nije teško provjeriti da je ABC sličan polaznom trokutu, tj. da ima kutove A, B i C.
Zanimljivo je da se za analogni problem za trodjelnice stranica trokuta umjesto kutova ne zna podrobniji opis figure dobivene analogno Morleyjevim teoremu. ABC je afina slika pravilnog, pa kako afinitet čuva paralelnost, slijedi da je PQ paralelno s AB itd., pa je PQR sličan s ABC, a šesterokut PWQURV afino regularan. Ali možemo li reći i nešto više od od toga? Primjerice, koji je koeficijent sličnosti i ima li taj šesterokut neka dodatna svojstva?
Također je otvoreno pitanje ima li nekih simetrija (skladnosti) Morleyev tetraedar dobiven trisekcijama diedralnih kutova danog tetraedra (v.[28]).



Zaključak

Koliko su vizualni i kratki dokazi važni potvrdio je i hrvatski znanstvenik i izumitelj Nikola Tesla (1856.-1943.) riječima: "Mogu zahvaliti vizualizaciji za sve što sam stvorio. Događaji iz mog života i moja otkrića pred mojim očima su stvarni, vidljivi kao i svaka pojava i predmet. U mladosti sam se toga plašio neznajući što je to zapravo, ali kasnije sam tu moć primio kao dar i bogatstvo. Njegovao sam ga i ljubomorno čuvao. Vizualizacijom sam na većini izuma vršio i ispravke, a onda ih, tako završene, pravio. Njome rješavam i komplicirane matematičke jednadžbe, a da ne ispisujem brojeve."

Bibliografija
[1] B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 1, Školska knjiga, Zagreb, 2004.
[2] B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 2, Tehnička knjiga, Zagreb, 1995.
[3] I. N. Bronštejn, suradnici: Matematički priručnik, Tehnička knjiga, Zagreb, 2004.
[4] S. Mardešić: Sjećanje na profesora Borisa Pavkovića (1931.-2006.), Glasnik Matematički, 41 (61) (P) (2006.), 414-415.
[5] V. Volenec: Popis i opis znanstvenih radova prof. dr. sc. Borisa Pavkovića, Glasnik Matematički, 41 (61) (P) (2006.), 411-413.
[6] D. Veljan: The 2500-year -old-pythagorean theorem, Mathematics Magazine, 73 No. 4 (2000.), 259-272.
[7] D. Veljan: The AM-GM inequality from different viewpoints, Elem. Math. 72 (2017), 24-34.
[8] D. Svrtan, D. Veljan: Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities, Forum Geometricorum, 12 (2012.), 197-209.
[9] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya: Inequalities, 2nd. ed. , Cambridge University Press, Cambridge, 1952.
[10] J. M. Steele: The Cauchy-Schwarz Master Class, MAA, Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
 
[11] D. Veljan: Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2001.
[12] D. Veljan: Čarobne četvorine (iliti magični kvadrati), Poučak,15 (57) (2014.), 12-23.
[13] C. A. Pickover: Wonders of Numbers, Oxford University Press, New York, 2002.
[14] C. A. Pickover: The Math Book, Sterling, New York, 2009. (hrvatski prijevod u tisku).
[15] M. Fiedler: Matrices and Graphs in Geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 2011.
[16] D. Veljan: John Milnor - dobitnik Abelove nagrade za 2011. godinu, Matematičko-fizički list, 62(2011.), 172-176.
[17] A. Dujella: Fibonaccijevi brojevi, HMD, Zagreb, 2000.
[18] T. Koshy: Pell and Pell–Lucas Numbers with Applications, Springer, New York, 2014.
[19] D. Veljan, J. Nash i L. Nirenberg: Abelovci za 2015. godinu, Matematičko fizički list, 66 (2015.), 31-36.
[20] M. Raussen, C. Skau : Interview with Abel Laureate John F. Nash Jr., Notices of the AMS, 63 (5),(2016.), 486-491.
[21] D. Veljan : Matematičar i teorijski fizičar, akademik Vladimir Varićak, Prirodoslovlje 16(2016.), 125-152.
[22] D. Klobučar : Matematika naša svagdašnja I, II, Element , Zagreb, 2014.
[23] B. J. McCartin: Mysteries of the Equilateral Triangle, (javno dostupno na: http://www.m-hikari.com/mccartin-2.pdf, 7.2.2017.)
[24] J. Milnor : Topology through the centuries: Low dimensional manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (4) (2015.), 545-584.
[25] S. Mardešić : Kako sam postao i ostao matematičar, Hrvatska sveučilišna naklada, Zagreb, 2016.
[26] D. Veljan, V. Volenec: Matematika 3, Školska knjiga, Zagreb, 1998.
[27] I. Gusić: Andrew Wiles dobio Abelovu nagradu, Matematičko-fizički list, 67(2016.), 7-13.
[28] D. Svrtan, D. Veljan: Side lengths of Morley triangles and tetrahedra, Forum geometricorum, 17(2017), 123-142.
 

 

Broj 33

Poštovani čitatelji,

 

predstavljamo vam 33 broj časopisa math.e. U ovom broju donosimo članke

  1. Primjene Fourierove analize na konačnim komutativnim grupama, autora V. Kovača i Lj. Palle
  2. Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (2.dio), autora D. Veljana i I. Marušić
  3. Osnove primjene programa Rhinoceros 3d i Grasshopper u povezivanju matematike, geometrije i arhitekture, autora Milena Stavrić, Albert Wiltsche i Mirela Katić Žlepalo

U ovom broju prezentiramo pregled rezultata Fourierove analize za proizvoljne grupe. Radi se o poopćenju rezultata o diskretnoj Fourierovoj transformaciji s cikličkih na proizvoljne Abelove grupe. Valja istaknuti da članak donosi veliki broj konkretnih zadataka i primjena kojima se apstraktan teorije upotpunjuje. Posebno se ističu poglavlja koja su fokusirana na primjene u algebri, geometriji i teoriji brojeva sa zadacima koji predstavljaju opće razumljive probleme koji se rješavaju na sustavan način. Također, donosimo i drugi dio slijeda članaka o vizualnim dokazima u matematici. U ovom članku prezentirani su dokazi osnovnih matematičkih nejednakosti, te dokazi probleme diskretne matematike i fraktalne geometrije. Konačno, prezentiramo i članak o primjeni matematike u nastavi stručnih studija te računalnoj podršci projektiranju.

Želim vam ugodno čitanje, L. Grubišić