osnovni teorem algebre

Gelfand-Mazurov teorem i osnovni teorem algebre

Ilja Gogić, Mateo Tomašević


I. Gogić, PMF-Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu, Bijenička 30, 10000 Zagreb, Hrvatska

ilja@math.hr
 

M. Tomašević, PMF-Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu, Bijenička 30, 10000 Zagreb, Hrvatska

mateo.tomasevic@math.hr

Sažetak
U ovom preglednom radu prezentiramo relativno elementaran dokaz slavnog Gelfand-Mazurovog teorema, koji kaže da je svaka kompleksna normirana algebra s dijeljenjem izomorfna algebri kompleksnih brojeva \mathbb{C}, te pomoću njega dajemo kratak dokaz Osnovnog teorema algebre.



1Uvod

Gelfand–Mazurov teorem (GMT u daljnjem), nazvan prema sovjetskom matematičaru I. Gelfandu i poljskom matematičaru S. Mazuru, je fundamentalni teorem teorije Banachovih algebri koji kaže da je svaka kompleksna normirana algebra s dijeljenjem izomorfna algebri kompleksnih brojeva \mathbb{C}. Taj rezultat je najprije na\-javio S. Mazur 1938. godine u [6], a zatim ga je dokazao I. Gelfand 1941. godine u [3].

GMT se obično iskazuje za Banachove algebre (tj. za potpune normirane algebre) te se standardno dokazuje koristeći Liouvilleov teorem iz kompleksne analize. U ovom preglednom radu ćemo najprije prezentirati relativno elementaran dokaz GMT-a (Teorem 8) kojeg je, uz dodatnu pretpostavku komutativnosti algebre, dao japanski matematičar S. Kametani u [5]. U tom dokazu se od funkcijskih metoda koristi samo koncept neprekidnosti. Kao što ćemo vidjeti, Kametanijev dokaz prolazi i bez pretpostavke komutativnosti algebre, odakle jednostavno slijedi da je svaka konačnodimenzionalna kompleksna algebra s dijeljenjem izomorfna s \mathbb{C} (Korolar 12). Koristeći opservaciju španjolskog matematičara J. Almirae (vidjeti [1]), kao jednostavnu posljedicu te činjenice dobivamo još jedan dokaz Osnovnog teorema algebre (Teorem 14).

2Pregled osnovnih pojmova

Za vektorski prostor A nad poljem \mathbb{F} kažemo da je (asocijativna) algebra, ako je na A zadana operacija množenja, tj. asocijativna binarna operacija

A \times A \to A, \qquad (x,y) \mapsto xy

koja zadovoljava

(\lambda x+ \mu y)z=\lambda(xz)+\mu(yz) \qquad \text{i} \qquad x(\lambda y+ \mu z)=\lambda (xy)+ \mu(xz)

za sve \lambda,\mu \in \mathbb{F} te x,y,z \in A.

Za elemente x,y \in A kažemo da komutiraju ako vrijedi xy=yx. Ako svi elementi u A komutiraju, onda kažemo da je A komutativna algebra.

Za algebru A\neq \lbrace 0\rbrace kažemo da je unitalna (ili algebra s jedinicom) ako A sadrži element 1_{A} sa svojstvom

1_{A}x=x1_{A}=x \qquad \forall x\in A.

U tom slučaju element 1_{A} se zove jedinica u A i ona je jedinstvena.

Ako je A unitalna algebra, tada za element x \in A kažemo da je invertibilan ako postoji element x^{-1}\in A takav da je

x^{-1}x=xx^{-1}=1_{A}.

Element x^{-1}, ako postoji, je jedinstven i zovemo ga inverz od x. Skup svih invertibilnih elemenata algebre A označavamo s A^{\times}. Primijetimo da je A^{\times} grupa s obzirom na operaciju množenja.

Napomena 1. Neka je A unitalna algebra. Ako elementi x,y \in A komutiraju i ako je y \in A^{\times}, onda također komutiraju elementi x i y^{-1}. Naime xy=yx je ekvivalentno s y^{-1}x=xy^{-1}.


Ako je A unitalna algebra takva da vrijedi A^{\times}=A\setminus \lbrace 0\rbrace, tj. ako je svaki nenul element u A invertibilan, onda kažemo da je A algebra s dijeljenjem. Primijetimo da ako je A komutativna algebra s dijeljenjem tada je A polje koje sadrži \mathbb{F} kao potpolje (nakon identifikacije \mathbb{F} s \mathbb{F} 1_{A} \subseteq A).
 

 

Neka je A algebra. Za potprostor I od A kažemo da je obostrani ideal (ili samo ideal) u A ako vrijedi

IA=\lbrace xy : \, x \in I, y \in A\rbrace \subseteq I \qquad \text{i} \qquad AI=\lbrace xy : \, x\in A, y \in I\rbrace \subseteq I.

Očito su \lbrace 0} i A ideali u A koje zovemo trivijalni ideali. Ako A nema netrivijalnih ideala onda kažemo da je A prosta.

Napomena 2. Neka je A unitalna algebra. Tada A možemo promatrati kao (unitalni) prsten, tako da zaboravimo na dodatnu strukturu. Ako je I \subseteq A, onda je I ideal algebre A ako i samo ako je I ideal prstena A. Zaista, neka je I ideal prstena A. Tada za \lambda \in \mathbb{F} i x \in I imamo
\lambda x = \lambda (1_{A} x)=(\lambda 1_{A}) x \in I.
Dakle, I je potprostor od A pa stoga ideal algebre A. Obrat je trivijalan.

Napomena 3. Neka je A unitalna algebra i neka je I\neq A ideal u A. Tada vrijedi 1_{A}\not\in I. štoviše, I ne sadrži niti jedan invertibilni element, tj. I \cap A^{\times} = \emptyset. Posebno, ako je A algebra s dijeljenjem, tada je A prosta algebra.


 

Neka je I ideal u algebri A. U kvocijentni vektorski prostor A/I uvodimo operaciju množenja na sljede\' ci način:

(x+I)(y+I):=xy+I \qquad (x,y \in A).

Iz činjenice da je I (obostrani) ideal lako vidimo da ta definicija ima smisla, odnosno da ne ovisi o izboru predstavnika x i y klasa kvocijentnog prostora. S tako definiranim množenjem A/I postaje algebra koja se zove kvocijentna algebra algebre A po idealu I. Ako je 1_{A} jedinica u algebri A, očito je njena klasa 1_{A}+I jedinica u kvocijentnoj algebri A/I.

Napomena 4. Za ideal M\neq A algebre A kažemo da je maksimalan, ako M nije sadržan niti u jednom drugom idealu u A različitom od A. Ako je A unitalna komutativna algebra, tada se lako vidi da je ideal M u A maksimalan ako i samo ako je A/M polje (vidjeti npr. [7, Teorem 6.19]). Posebno, unitalna komutativna algebra A je prosta ako i samo ako je A polje.

Primjer 5. Neka je \mathbb{F} polje.
\bullet [(a)] Promotrimo algebru polinoma \mathbb{F}[X] nad \mathbb{F} u jednoj varijabli X. Tada je \mathbb{F}[X] unitalna komutativna algebra, pri čemu je jedinica u \mathbb{F}[X] konstantni polinom 1. Kao što znamo, \mathbb{F}[X] je kao prsten domena glavnih ideala (npr. vidjeti [7, Teorem 8.9]). Drugim riječima, svaki ideal I prstena \mathbb{F}[X] (pa prema Napomeni 2 i algebre \mathbb{F}[X]) je glavni, odnosno oblika
I=\langle p \rangle =p(X)\mathbb{F}[X]
za neki polinom p \in \mathbb{F}[X]. Nadalje, ideal I=\langle p \rangle je maksimalan ako i samo je polinom p ireducibilan, tj. p se ne može prikazati kao produkt dva nekonstanta polinoma u \mathbb{F}[X] (za detalje vidjeti [4, Sections III.5, III.6]). Prema Napomeni 4 to je ekvivalentno činjenici da je kvocijentna algebra \mathbb{F}[X]/\langle p \rangle polje.
\bullet [(b)] Neka je V konačnodimenzionalni vektorski prostor nad \mathbb{F}. Promotrimo skup \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V) svih linearnih operatora s V u V. Tada je \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V) unitalna algebra nad \mathbb{F} s obzirom na operacije
(\lambda T)v:=\lambda(T v), \quad (T_{1}+T_{2})(v):=T_{1}v+T_{2}v \quad \text{i} \quad (T_{1}T_{2})(v):=T_{1}(T_{2}v),
gdje su T_{1},T_{2} \in \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V), v \in V te \lambda \in \mathbb{F}. Jedinica u \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V) je jedinični operator. Lako se provjeri da je \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V) prosta algebra koja je nekomutativna čim je \dim V \gt 1.


 

Normirana algebra je algebra A nad poljem \mathbb{F}=\mathbb{R} ili \mathbb{F}=\mathbb{C} na kojoj je zadana submultiplikativna norma, tj. norma \Vert \cdot\Vert takva da vrijedi

\Vert xy\Vert \leq \Vert x\Vert \Vert y\Vert \qquad \forall x,y \in A.


Napomena 6. Neka je A normirana algebra.
\bullet [(a)] Operacija množenja (x,y)\mapsto xy je neprekidna kao funkcija A \times A \to A. To slijedi direktno iz nejednakosti
\begin{eqnarray*} \Vert xy-x'y'\Vert & = & \Vert x(y-y')+(x-x')y'\Vert \leq \Vert x(y-y')\Vert + \Vert (x-x')y'\Vert \\ &\leq& \Vert x\Vert \Vert y-y'\Vert + \Vert x-x'\Vert \Vert y'\Vert , \end{eqnarray*}
gdje su x,x',y,y' \in A.
\bullet [(b)] Ako je A unitalna, tada je \Vert 1_{A}\Vert \geq 1. To slijedi direktno iz nejednakosti
\Vert 1_{A}\Vert =\Vert 1_{A}^{2}\Vert \leq \Vert 1_{A}\Vert ^{2}
i činjenice da je \Vert 1_{A}\Vert \neq 0 (jer je 1_{A} \neq 0).

Primjer 7. Neka je \mathbb{F}=\mathbb{R} ili \mathbb{F}=\mathbb{C}.
\bullet [(a)] Algebra polinoma \mathbb{F}[X] nad \mathbb{F} u jednoj varijabli X (Primjer 5 (a)) postaje normirana algebra s obzirom na sup-normu po jediničnoj kugli u \mathbb{F}:
\Vert p\Vert := \sup\lbrace |p(\lambda)| :\, |\lambda|\leq 1\rbrace .
\bullet [(b)] Neka je V konačnodimenzionalni normiran prostor nad poljem \mathbb{F}. Tada algebra \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V) (Primjer 5 (b)) postaje normirana algebra s obzirom na operatorsku normu
\Vert T\Vert _{o}:=\sup\lbrace \Vert Tx\Vert : \, \Vert x\Vert \leq 1\rbrace \qquad (T \in \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V))
(vidjeti npr. [9, Teorem 2.24]).

3Dokaz Gelfand-Mazurovog teorema

Najprije iskažimo Gelfand-Mazurov teorem.

Teorem 8. [Gelfand-Mazurov teorem] Neka je A kompleksna normirana algebra s dijeljenjem. Tada je
A = \mathbb{C}1_{A} = \lbrace \lambda 1_{A} : \, \lambda \in \mathbb{C}\rbrace .


U dokazu Teorema 8 koristit ćemo dva pomoćna rezultata, Leme 9 i 11. Napomenimo da za x_{0} \in A i r \gt 0 s K(x_{0},r) i \overline{K}(x_{0},r) redom označavamo otvorenu i zatvorenu kuglu oko x_{0} radijusa r, tj.

K(x_{0},r)=\lbrace x \in A : \, \Vert x-x_{0}\Vert \lt r\rbrace \qquad \text{i} \qquad \overline{K}(x_{0},r)=\lbrace x \in A : \, \Vert x-x_{0}\Vert \leq r\rbrace .

Nadalje, za x \in A i polinom p \in \mathbb{C}[z], p(z)=\alpha_{0} +\alpha_{1} z+ \ldots + \alpha_{n} z^{n}, definiramo

p(x):=\alpha_{0} 1_{A} + \alpha_{1} x+ \ldots + \alpha_{n} x^{n} \in A.


Lema 9. Neka je A normirana algebra s dijeljenjem. Tada je invertiranje x \mapsto x^{-1} neprekidno, kao funkcija A^{\times} \to A^{\times}.

Dokaz. Neka je x \in A^{\times} proizvoljan i neka je
(1)
y \in K\left(x,\frac{1}{2\Vert x^{-1}\Vert }\right).
Primijetimo da je y \in A^{\times}, jer bismo u protivnom imali y=0 pa bi (1) povlačilo
\Vert 1_{A}\Vert =\Vert xx^{-1}\Vert \leq \Vert x\Vert \Vert x^{-1}\Vert \lt \frac{1}{2},
što je kontradikcija s Napomenom 6 (b). Imamo
\Vert y^{-1}\Vert - \Vert x^{-1}\Vert \le \Vert y^{-1}-x^{-1}\Vert = \Vert y^{-1}(x-y)x^{-1}\Vert \le \Vert y^{-1}\Vert \Vert x - y\Vert \Vert x^{-1}\Vert \lt \frac{1}{2} \Vert y^{-1}\Vert
pa je \Vert y^{-1}\Vert \lt 2\Vert x^{-1}\Vert. Gornji račun sada daje
\Vert y^{-1}-x^{-1}\Vert \lt 2 \Vert x^{-1}\Vert ^{2}\Vert x-y\Vert ,
iz čega direktno slijedi neprekidnost invertiranja.
\ \blacksquare

Napomena 10. Kako je \Vert 1_{A}\Vert \geq 1 (Napomena 6 (b)), iz dokaza Leme 9 za x=1_{A} dobivamo da za sve y \in K\left(1_{A},\frac{1}{2\Vert 1_{A}\Vert }\right) vrijedi y \in A^{\times} te \Vert y^{-1}\Vert \lt 2\Vert 1_{A}\Vert.

Lema 11. Neka je f : \mathbb{C} \to \mathbb{R} neprekidna funkcija takva da je
(2)
\lim_{|z| \to +\infty} f(z) = 0.
Tada f postiže maksimum na \mathbb{C}.

Proof. Najprije primijetimo da iz (2) slijedi da je f ograničena na \mathbb{C} i neka je
M := \sup_{z \in \mathbb{C}} f(z).
Također, (2) povlači da postoji R \gt 0 takav da je f(z) \lt \frac{M}{2} za sve z \in \mathbb{C}, |z| \gt R. S druge strane, restrikcija od f na \overline{K}(0,R) je neprekidna na kompaktnom skupu pa postiže maksimum. Očito je taj maksimum ujedno i maksimum funkcije f.
\ \blacksquare

Dokaz Teorema 8. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji x \in A \setminus \mathbb{C}1_{A}. Očito za sve \alpha,\beta \in \mathbb{C}, \alpha \ne 0 imamo \alpha x + \beta 1_{A} \in A\setminus \mathbb{C}1_{A}. Posebno je x - \lambda 1_{A} \ne 0 za sve \lambda \in \mathbb{C} pa je prema Lemi 9 funkcija \varphi : \mathbb{C} \to A zadana s
\varphi(\lambda) := (x-\lambda 1_{A})^{-1}
dobro definirana i neprekidna na \mathbb{C}. Nadalje za sve \lambda \in \mathbb{C}^{\times} imamo
\Vert \varphi(\lambda)\Vert \le |\lambda^{-1}|\Vert (\lambda^{-1}x-1_{A})^{-1}\Vert ,
odakle slijedi
(3)
\lim_{|\lambda|\to +\infty} \Vert \varphi(\lambda)\Vert =0.
Naime, za |\lambda|\gt 2\Vert x\Vert \Vert 1_{A}\Vert imamo 1_{A}- \lambda^{-1}x\in K\left(1_{A},\frac{1}{2\Vert 1_{A}\Vert }\right) pa je prema Napomeni 10
\Vert (\lambda^{-1}x-1_{A})^{-1}\Vert \lt 2 \Vert 1_{A}\Vert .
Stoga prema Lemi 11 postoji \lambda_{0} \in \mathbb{C} takav da je
\Vert \varphi(\lambda_{0})\Vert = \sup_{\lambda \in \mathbb{C}} \Vert \varphi(\lambda)\Vert .
Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je
(4)
\lambda_{0} = 0 \qquad \text{i} \qquad \Vert \varphi(\lambda_{0})\Vert = 1.
Naime, u suprotnom element x \in A \setminus \mathbb{C}1_{A} zamijenimo elementom
y:= (x+\lambda_{0} 1_{A})\Vert \varphi(\lambda_{0})\Vert \in A \setminus \mathbb{C}1_{A}.
Iz (4) slijedi da za sve \lambda \in \mathbb{C} imamo
(5)
\Vert (x-\lambda 1_{A})^{-1}\Vert = \Vert \varphi(\lambda)\Vert \le \Vert \varphi(0)\Vert = \Vert x^{-1}\Vert = 1.

Pokazat ćemo da (5) povlači
(6)
\Vert (x-2^{-1}1_{A})^{-1}\Vert =\Vert \varphi(2^{-1})\Vert =1.
Jednom kada pokažemo (6), bit će moguće element x \in A \setminus \mathbb{C}1_{A} zamijeniti elementom x - 2^{-1}1_{A} \in A \setminus \mathbb{C}1_{A}, odakle će induktivno slijediti
\Vert (x-(2^{-1}n)1_{A})^{-1}\Vert =1 \qquad \forall n \in \mathbb{N}.
Ovo je kontradikcija, jer je prema (3)
\lim_{n\to\infty} \Vert \varphi(2^{-1}n)\Vert = \lim_{n\to\infty}\Vert (x-(2^{-1}n)1_{A})^{-1}\Vert = 0.
Preostaje dokazati jednakost (6). Prema (5) znamo da je \Vert \varphi(2^{-1})\Vert \le 1 pa pretpostavimo da je
\Vert \varphi(2^{-1})\Vert \lt 1.
Neka je 0\lt \delta \lt 2^{-1} takav da je \Vert \varphi(2^{-1})\Vert = 1-2\delta. Iz neprekidnosti funkcije \varphi u 2^{-1} slijedi da postoji \eta \gt 0 sa svojstvom
(7)
|\lambda - 2^{-1}| \le \eta \implies \Vert \varphi(\lambda)\Vert \lt 1-\delta.

Za n \in \mathbb{N} označimo s \xi_{0}, \ldots, \xi_{n-1} sve n-te korijene iz jedinice. Promotrimo polinom p \in \mathbb{C}[z] definiran s
p(z):= z^{n}-2^{-n} = \prod_{j=0}^{n-1}(z-2^{-1}\xi_{j}).
Imamo
nz^{n-1} = p'(z) = \sum_{j=0}^{n-1} \prod_{\stackrel{k=0}{k \ne j}}^{n-1} (z-2^{-1}\xi_{k})
pa je prema Napomeni 1
\begin{align*} p(x)\left(\sum_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})^{-1}\right) &= (x^{n}-2^{-n}1_{A})\left(\sum_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})^{-1}\right) \\ &= \left(\prod_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})\right) \left(\sum_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})^{-1}\right) \\ &= \sum_{j=0}^{n-1} \prod_{\stackrel{k=0}{k \ne j}}^{n-1} (x-2^{-1}\xi_{k} 1_{A}) \\ &= p'(x) \\ &= nx^{n-1}. \end{align*}
Iz prethodnog računa (i Napomene 1) slijedi
\begin{align*} \sum_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})^{-1} &= nx^{n-1}(x^{n}-2^{-n}1_{A})^{-1}\\ &= nx^{n-1}x^{-n}(1_{A}-(2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\\ &= nx^{-1}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\\ &= nx^{-1}((1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})+ (2^{-1}x^{-1})^{n})(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\\ &= nx^{-1}(1_{A} + (2^{-1}x^{-1})^{n}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}), \end{align*}
odnosno
(8)
\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1}\varphi(2^{-1}\xi_{j}) = x^{-1}+x^{-1}(2^{-1}x^{-1})^{n}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}.
Iz (8) i (5) dobivamo
(9)
\begin{align} \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1}\Vert \varphi(2^{-1}\xi_{j})\Vert &\ge \frac{1}{n} \left\Vert \sum_{j=0}^{n-1} \varphi(2^{-1}\xi_{j})\right\Vert \\ &= \left\Vert x^{-1}+x^{-1}(2^{-1}x^{-1})^{n}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\right\Vert \\ &\ge \Vert x^{-1}\Vert -\Vert x^{-1}(2^{-1}x^{-1})^{n}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert \notag\\ &\ge \Vert x^{-1}\Vert -\Vert x^{-1}\Vert \Vert 2^{-1}x^{-1}\Vert ^{n}\Vert (1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert \notag\\ &= 1 - 2^{-n}\Vert (1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert \notag. \end{align}
Definirajmo funkciju f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\cup\lbrace 0\rbrace s
\begin{eqnarray*} f(n)&:=& \text{card}\lbrace 0 \le j \le n-1 : \, |2^{-1}\xi_{j} - 2^{-1}| \le \eta\rbrace \\ &=& \text{card}\lbrace 0 \le j \le n-1 : \, |\xi_{j} - 1| \le 2\eta\rbrace . \end{eqnarray*}
Tada iz (9), (7) i (5) dobivamo
(10)
\frac{f(n)(1-\delta)+(n-f(n))}{n} \gt 1-2^{-n}\Vert (1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert .
Kako je \Vert x^{-1}\Vert =1, za dovoljno velike n \in \mathbb{N} imamo 1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n} \in K\left(1_{A}, \frac{1}{2\Vert 1_{A}\Vert }\right), pa je prema Napomeni 10
\lim_{n\to\infty} (1-2^{-n}\Vert (1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert ) = 1.
S druge strane, neka je \ell duljina luka kružnice |z| = 1 određenog s |z-1| \le 2\eta. Tada za sve n \in \mathbb{N} imamo
\frac{n}{2\pi} \ell - 1 \leq f(n)\leq \frac{n}{2\pi} \ell + 1,
pa je prema teoremu o sendviču
\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{n}=\frac{\ell}{2\pi}.
Prelaskom na limes u relaciji (10) dobivamo
1 - \frac{\ell}{2\pi}\delta \ge 1,
što je kontradikcija. Time je dokaz teorema završen.
\ \blacksquare

Korolar 12. Neka je A konačnodimenzionalna kompleksna algebra s dijeljenjem. Tada je A=\mathbb{C}1_{A}.

Dokaz. Prema Gelfand-Mazurovom teoremu, dovoljno je dokazati da je A moguće opskrbiti sa submultiplikativnom normom, tj. da postoji norma \Vert \cdot\Vert _{*} na A s obzirom na koju je (A, \Vert \cdot\Vert _{*}) normirana algebra.

U tu svrhu naprije izaberimo proizvoljnu normu \Vert \cdot\Vert na A. Npr., kako je n:=\dim A \lt \infty, postoji baza \lbrace e_{1}, \ldots, e_{n}\rbrace za A. Tada za svaki x \in A postoje jedinstveni skalari \alpha_{1}(x), \ldots , \alpha_{n}(x) takvi da je
x=\alpha_{1}(x)e_{1} + \ldots + \alpha_{n}(x)e_{n},
pa možemo definirati
\Vert x\Vert :=\max\lbrace |\alpha_{1}(x)|, \ldots , |\alpha_{n}(x)|\rbrace .
Promotrimo algebru \text{End}_{\mathbb{}}{C}(A) svih linearnih operatora na A, opskrbljenu s operatorskom normom \Vert \cdot\Vert _{o} (Primjer 7 (b)). Za svako a \in A neka je L_{a} \in \text{End}_{\mathbb{}}{C}(A) pripadni operator lijevog množenja s a, tj. L_{a}(x):=ax (x \in A). Definirajmo
\Vert a\Vert _{*}:=\Vert L_{a}\Vert _{o}=\sup\lbrace \Vert ax\Vert : \, \Vert x\Vert \leq 1\rbrace \qquad (a \in A).
Očito je \Vert \cdot\Vert _{*} norma na A. Kako je operatorska norma submultiplikativna, za sve a,b \in A imamo
\Vert ab\Vert _{*}=\Vert L_{ab}\Vert _{o}=\Vert L_{a} L_{b}\Vert _{o}\leq\Vert L_{a}\Vert _{o}\Vert L_{b}\Vert _{o}=\Vert a\Vert _{*}\Vert b\Vert _{*}.
Dakle, (A, \Vert \cdot\Vert _{*}) je normirana algebra.
\ \blacksquare

Napomena 13. čitatelj bi se mogao zapitati vrijedi li tvrdnja Korolara 12 i bez pretpostavke da je A konačne dimenzije. Odgovor je negativan. Naime, algebra \mathbb{C}((X)) formalnih Laurentovih redova nad \mathbb{C} u jednoj varijabli X (vidjeti npr. [2, Example 1.41]) je primjer beskonačnodimenzionalne kompleksne algebre s dijeljenjem. Posebno, iz GMT-a slijedi da na algebri \mathbb{C}((X)) nije moguće definirati normu uz koju bi ona postala normirana algebra. Argument iz dokaza Korolara 12 ne prolazi, jer zbog beskonačnodimenzionalnosti od \mathbb{C}((X)) operatori lijevog množenja na \mathbb{C}((X)), s obzirom na proizvoljnu normu na \mathbb{C}((X)), nisu nužno ograničeni.

4Dokaz osnovnog teorema algebre preko Gelfand-Mazurovog teorema

Teorem 14. [Osnovni teorem algebre] Polje kompleksnih brojeva \mathbb{C} je algebarski zatvoreno. Drugim riječima, svaki nekonstantni polinom p \in \mathbb{C}[z] ima korijen u \mathbb{C}.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da ako je p \in \mathbb{C}[z] ireducibilan polinom, tada je p nužno stupnja 1.

Neka je stoga
p(z)=\alpha_{0} + \ldots + \alpha_{n} z^{n} \in \mathbb{C}[z]
ireducibilan polinom, gdje je n\in \mathbb{N} i \alpha_{n} \neq 0. Trebamo pokazati da je n=1. Neka je \langle p \rangle=p(z)\mathbb{C}[z] glavni ideal u \mathbb{C}[z] generiran s p. Prema Primjeru 5 (a) ireducibilnost od p je ekvivalentna činjenici da je kvocijentna algebra A:=\mathbb{C}[z]/\langle p \rangle algebra s dijeljenjem. Budući da je p stupnja n, A je n-dimenzionalna s bazom
\lbrace 1+\langle p\rangle, \ldots, z^{n-1}+\langle p\rangle\rbrace .
Iz Korolara 12 slijedi n=\dim A=1, čime je dokaz teorema završen.
\ \blacksquare

5Zaključak

Gelfand-Mazurov teorem (GMT) je jedan on najfundamentalnijih teorema teorije normiranih algebri. Osim njegovog teorijskog značaja, on ima i mnogobrojne primjene u raznim područjima matematike. U ovom preglednom radu smo demonstrirali relativno elementaran dokaz GMT-a te smo pokazali kako iz njega na jednostavan način možemo izvesti Osnovni teorem algebre.

Jedna od direktnih posljedica GMT-a je da je centar svake unitalne proste kompleksne normirane algebre izomorfan s \mathbb{C}. Između ostalih, ta činjenica se esencijalno koristi u diplomskom radu drugog autora [8], u kojem se daje karakterizacija unitalnih C^{*}-algebri koje imaju tzv. CQ-svojstvo (eng. centre-quotient property).

Bibliografija
[1] J. M. Almira, An application of the Gelfand-Mazur theorem: the fundamental theorem of algebra revisited, Divulgaciones Matem\' aticas, 13 (2) (2005), 123–125.
[2] M. Brešar, Introduction to Noncommutative Algebra, Universitext, Springer, 2014.
[3] I.  Gelfand, Normierte Ringe, Mat. Sbornik N. S. 9 (51) (1941), 3–24.
[4] T. W. Hungerford, Algebra (2nd ed.), Springer-Verlag 1980.
[5] S. Kametani, An elementary proof of the fundamental theorem of normed fields, J. Math. Soc. Japan 4 (1) (1952), 96–99.
[6] S. Mazur, Sur les anneaux lin\'eaires, C. R. Acad. Sci. Paris 207 (1938), 1025–1027.
[7] B. širola, Algebarske strukture, skripta, PMF-MO, Zagreb.
dostupno na https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/alg/predavanja/ASpred.pdf .
[8] M. Tomašević, O epimorfnoj slici centraC^{*}-algebre, diplomski rad, 2019, PMF-MO, Zagreb.
[9] Š. Ungar, Matematička analiza u \mathbb{R}^{n}, Tehnička knjiga, Zagreb, 2005.

 

Broj 37

Poštovani,

u broju 37. časopisa math.e vam donosimo pregled rezultata iz linearne algebre, teorije brojeva i analize.  U članku Razne karakterizacije 2x2 matrca traga nula. M. Perković i R. Rajić istražuju geometriju skupa kompleksnih 2x2 matrica traga nula korištenjem Hamilton–Cayleyje-vog teorema. U radu Birch i Swinnerton-Dyerova slutnja, Damira Mikoća daje se prikaz ovog problema koji je jedan od Millennium Prize problema. Autor također izlaže osnove teorije eliptičkih krivulja koje su potrebne za razumijevanje konteksta ovog matematičkog izazova. U članku Gelfand-Mazurov teorem i osnovni teorem algebre, Ilja Gogić, Mateo Tomašević daju prikaz osnovne teorije normiranih algebri te pokazuju primjene u rješavanju jednog klasičnog problema.

Želim vam ugodno čitanje.

Luka Grubišić