Riemannova, Darbouxova i Cauchyjeva integrabilnost

Ozren Perše, Mila Strpić, Sanja Strpić




Sažetak
U ovom preglednom radu prezentiramo dokaz iz S. Schneider, International Mathematical Forum 9 (2014) da se Riemannova i Cauchyjeva definicija integrabilnosti podudaraju. Također, diskutiramo odnos Riemannove i Darbouxove integrabilnosti.




1Uvod

Standardni udžbenici (vidi npr. [3], [4], [5]) i kolegiji matematičke analize uvode pojam određenog integrala ograničene funkcije f:[a,b]\to\mathbb{R} pomoću gornjih i donjih Darbouxovih suma pridruženih proizvoljnoj razdiobi \rho =\lbrace x_{k}\rbrace _{k=0}^{n} segmenta [a,b]. Razlog tome je što je ta definicija ipak na neki način operativnija od originalne Riemannove definicije pomoću integralnih (tj. Riemannovih) suma, za čiju definiciju je potrebno osim razdiobe \rho fiksirati i po jednu točku x_{k}^{*}\in [x_{k-1},x_{k}] iz svakog intervala pridruženog toj razdiobi. Riemannovu definiciju možemo ugrubo zapisati:

(1)
\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}\!f(x)\,dx = \lim _{\Vert \rho\Vert \to 0} \Big( \sum_{k=1}^{n} f(x_{k}^{*})(x_{k}-x_{k-1}) \Big), \end{eqnarray}

ako taj limes postoji, pri čemu je s \Vert \rho\Vert označen dijametar razdiobe \rho. Jedna prednost ove definicije je što ne zahtijeva pretpostavku da je f ograničena funkcija. Naime, lagano se može pokazati da postojanje limesa u relaciji (1) povlači da je f:[a,b]\to\mathbb{R} ograničena.

Prirodno pitanje koje se postavlja je: Koliko možemo pojednostaviti definiciju (1) obzirom na izbor točaka x_{k}^{*}\in [x_{k-1},x_{k}]? Kao prirodni kandidati se javljaju rubovi intervala x_{k}^{*}=x_{k-1} ili x_{k}^{*}=x_{k}. Takvim razmišljanjem dolazimo do pojma Cauchyjevog integrala:

(2)
\begin{eqnarray} \lim _{\Vert \rho\Vert \to 0} \Big( \sum_{k=1}^{n} f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1}) \Big), \end{eqnarray}

gdje smo uzeli x_{k}^{*}=x_{k}. Dakle, i pojam Cauchy-integrabilne funkcije je moguće definirati bez pretpostavke ograničenosti funkcije f. Međutim, za razliku od Riemannovog integrala, postojanje limesa u relaciji (2) ne povlači nužno ograničenost funkcije f (vidi Primjedbu 6).

Stoga dolazimo do formulacije glavnog problema ovog rada: Za ograničenu funkciju f:[a,b]\to\mathbb{R}, jesu li Riemannova i Cauchyjeva definicija integrala ekvivalentne? Budući da je jedan smjer očit, zapravo je potrebno dokazati da je svaka ograničena Cauchy-integrabilna funkcija ujedno i Riemann-integrabilna. Prvi dokaz te činjenice je dao D. C. Gillespie ([2]), koristeći teoriju mjere. U ovom radu prezentiramo nedavni dokaz S. Schneidera ([7]), koji koristi samo elementarne činjenice o Riemannovom integralu, odnosno taj dokaz je prilagođen slušačima standardnog kolegija realne analize funkcija jedne varijable.

U ovom radu, za ograničenu funkciju f:[a,b]\to\mathbb{R}, sa \sup(f, [a,b]) označavamo supremum funkcije f na segmentu [a,b], te s \inf(f, [a,b]) pripadni infimum.

2Riemannov i Darbouxov integral

Započinjemo sa standardnom definicijom određenog integrala, kojeg u ovom radu nazivamo Darbouxov integral.

Neka je f:[a,b]\to\mathbb{R} ograničena funkcija. Neka je

\rho =\lbrace x_{k}\rbrace _{k=0}^{n} =\lbrace a=x_{0} \lt x_{1} \lt \ldots \lt x_{n} =b \rbrace

razdioba segmenta [a,b]. Označimo s

\Vert \rho\Vert :=\max\lbrace x_{k}-x_{k-1}~:~ 1\leq k\leq n\rbrace

dijametar razdiobe \rho. Nadalje, označimo sa

\begin{array}{rcl} S(f,\rho) & := & \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(\sup(f, [x_{k-1},x_{k}]))\cdot (x_{k}-x_{k-1})}, \\ s(f,\rho) & := & \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(\inf(f, [x_{k-1},x_{k}]))\cdot (x_{k}-x_{k-1})} \end{array}

gornju i donju Darbouxovu sumu za funkciju f obzirom na razdiobu \rho, te s

\begin{array}{rcl} I^{*}(f) & := & \inf\lbrace S(f,\rho)~:~ \text{\(\rho\) je razdioba od \([a,b]\)}\rbrace , \\ I_{*}(f) & := & \sup\lbrace s(f,\rho)~:~ \text{\(\rho\) je razdioba od \([a,b]\)}\rbrace \end{array}

gornji i donji Darbouxov integral od f na [a,b].

 

 

 

Donja Darbouxova suma, Riemannova suma i gornja Darbouxova suma 

Definicija 1. Kažemo da je ograničena funkcija f:[a,b]\to\mathbb{R} Darboux-integrabilna ako je I^{*}(f) = I_{*} (f). U tom slučaju taj integral označavamo s \int_{a}^{b}\!f(x)\,dx.

Neka je sada f:[a,b]\to\mathbb{R} proizvoljna funkcija (ne nužno ograničena). Neka je \rho =\lbrace x_{k}\rbrace _{k=0}^{n} razdioba segmenta [a,b], te x_{k}^{*}\in [x_{k-1},x_{k}] proizvoljne točke, koje u ovom radu zovemo probne točke. Nadalje, označimo s

R(f,\rho,\lbrace x_{k}^{*}\rbrace ) \ := \ \sum_{k=1}^{n} f(x_{k}^{*})(x_{k}-x_{k-1})

Riemannovu (ili integralnu) sumu od f obzirom na razdiobu \rho=\lbrace x_{k}\rbrace _{k=0}^{n} od [a,b] i probne točke x_{k}^{*}\in [x_{k-1},x_{k}].

Definicija 2. Kažemo da je funkcija f:[a,b]\to\mathbb{R} Riemann-integrabilna ako postoji I\in\mathbb{R} takav da za svaki \epsilon\gt 0 postoji \delta\gt 0 takav da za sve razdiobe \rho =\lbrace x_{k}\rbrace _{k=0}^{n} od [a,b] s dijametrom \Vert \rho\Vert \lt \delta i za sve izbore \lbrace x_{k}^{*}\rbrace probnih točaka obzirom na \rho, vrijedi
|R(f,\rho,\lbrace x_{k}^{*}\rbrace )-I|\lt \epsilon.


Sljedeći rezultat je vjerojatno dobro poznat čitatelju (vidi npr. [6], Poglavlje 10, gdje autori prezentiraju dokaz u slučaju funkcije dvije varijable):

Teorem 3. Vrijedi:

[(i)] Svaka Riemann-integrabilna funkcija f:[a,b]\to\mathbb{R} je nužno ograničena.


[(ii)] Ograničena funkcija f:[a,b]\to\mathbb{R} je Darboux-integrabilna ako i samo ako je Riemann-integrabilna. Uz oznake kao u Definiciji 2 je I= \int_{a}^{b}\!f(x)\,dx.
 
 
Dakle, Darbouxova integrabilnost i Riemannova integrabilnost su u suštini ekvivalentne.


3Riemannov i Cauchyjev integral

Pojam Cauchyjeve integrabilnosti dobivamo određenim pojednostavljenjem Riemannove integrabilnosti.

Neka je f:[a,b]\to\mathbb{R} proizvoljna funkcija (ne nužno ograničena). Neka je \rho =\lbrace x_{k}\rbrace _{k=0}^{n} razdioba segmenta [a,b]. Označimo s C(f,\rho) Riemannovu sumu koja za probne točke u svakom podintervalu uzima desne rubove x_{k}^{*}=x_{k}. Dakle,

C(f,\rho) \ := \ \sum_{k=1}^{n} f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1}).

Modifikacijom Definicije 2 dobivamo:

Definicija 4. Kažemo da je funkcija f:[a,b]\to\mathbb{R} Cauchy-integrabilna ako postoji L\in\mathbb{R} takav da za svaki \epsilon\gt 0 postoji \delta\gt 0 takav da za sve razdiobe \rho =\lbrace x_{k}\rbrace _{k=0}^{n} od [a,b] s dijametrom \Vert \rho\Vert \lt \delta, vrijedi
|C(f,\rho)-L|\lt \epsilon.

Opaska 5. Originalna Cauchyjeva definicija iz [1] uzima za probne točke lijeve rubove intervala x_{k}^{*}=x_{k-1}. Prijelaz s lijevih na desne rubove intervala se očito može ostvariti promatranjem funkcije g(x)=f(-x).

Opaska 6. Postoje neograničene funkcije koje su Cauchy-integrabilne. Na primjer, funkcija f:[0,1]\to\mathbb{R} definirana s
f(x)=\begin{cases} x^{-1/2}, & \text{ \(x \in (0,1]\)} \\ 0, & \text{ \(x=0\)} \end{cases}
je Cauchy-integrabilna iako je neograničena. Dakle, f nije Riemann-integrabilna (vidi Primjedbu 10).

Očito je svaka Riemann-integrabilna funkcija ujedno i Cauchy-integrabilna. Cilj ovog rada je dokazati da uz pretpostavku da je f ograničena, vrijedi i obrat te tvrdnje. Ključnu ulogu u dokazu te činjenice ima sljedeća tehnička lema:

Lemma 7. Ako je f:[a,b]\to\mathbb{R} ograničena, tada za svaki \epsilon\gt 0 postoji razdioba \rho od [a,b] takva da je
S(f,\rho)-C(f,\rho)\lt \epsilon.

Dokaz. Fiksirajmo B\gt 0 takav da je \sup(f,[a,b])-\inf(f,[a,b])\leq B, i neka je \epsilon\gt 0. Definirajmo g:[a,b]\to\mathbb{R} s g(x)=\sup(f,[x,b]). Tada je g očito padajuća pa je i Riemann-integrabilna na [a,b]. Označimo vrijednost tog integrala s L, dakle L=\int_{a}^{b}\!g(x)\,dx. Fiksirajmo \delta_{1}\gt 0 takav da za svaku razdiobu \rho ' od [a,b] sa svojstvom \Vert \rho '\Vert \lt \delta_{1} i za svaki izbor x_{k}^{\ast} probnih točaka obzirom na \rho', vrijedi |R(g,\rho ',\lbrace x_{k}^{\ast}\rbrace )-L|\lt \epsilon. Neka je \delta_{2}=\frac{\epsilon}{B}, i označimo \delta=\min\lbrace \delta_{1},\delta_{2}\rbrace. Neka je \rho ''=\lbrace x_{k}\rbrace _{k=0}^{n} razdioba od [a,b] takva da je \Vert \rho ''\Vert \lt \frac{\delta}{2}. Želimo pomoću \rho '' dobiti željenu razdiobu \rho. Neka je
\begin{array}{lll} C & = & \lbrace 1\leq k\leq n~:~ g(x_{k-1})=g(x_{k})\rbrace ; \\ D & = & \lbrace 1\leq k\leq n~:~ g(x_{k-1})\gt g(x_{k})\rbrace ; \\ D' & = & \lbrace k\in D\setminus\lbrace n\rbrace ~:~ k+1\not\in D\rbrace . \end{array}
Za svaki k\in D' neka je z_{k}=\inf\lbrace x\in [x_{k-1},x_{k}]~:~ g(x)=g(x_{k})\rbrace. Neka je
\begin{array}{lll} D_{0}' & = & \lbrace k\in D'~:~ g(z_{k})=g(x_{k})\rbrace ; \\ D_{1}' & = & \lbrace k\in D'~:~ g(z_{k})\gt g(x_{k})\rbrace . \end{array}
Za svaki k\in D, izaberimo y_{k}\in [x_{k-1},x_{k}) takav da je |f(y_{k})-g(x_{k-1})|\lt \frac{\epsilon}{b-a}, pri čemu još dodatno vrijedi y_{k}\lt z_{k} ako je k\in D_{0}', te y_{k}\leq z_{k} ako je k\in D_{1}'. Nadalje, za svaki k\in D' odaberimo dodatnu točku iz intervala [x_{k-1},x_{k}] na sljedeći način. Ako je k\in D_{0}', odaberimo u_{k}\in (y_{k},z_{k}) tako da je |u_{k}-z_{k}|\lt \frac{\epsilon}{B|D'|} i |f(u_{k})-g(u_{k})|\lt \frac{\epsilon}{b-a}; ako je k\in D_{1}', odaberimo v_{k}\in (z_{k},x_{k}) tako da je |v_{k}-z_{k}|\lt \frac{\epsilon}{B|D'|}. Definiramo sljedeće razdiobe:
\begin{array}{lll} \rho _{0} & = & \lbrace a,b\rbrace ; \\ \rho _{1} & = & \lbrace y_{k}~:~ k\in D\,\wedge\,k-1\not\in D\rbrace ; \\ \rho _{2} & = & \lbrace z_{k}~:~ k\in D_{0}'\rbrace \,\cup\,\lbrace v_{k}~:~ k\in D_{1}'\rbrace ; \\ \rho _{3} & = & \lbrace z_{k}~:~ k\in D_{1}'\,\wedge\,z_{k}\ne y_{k}\rbrace \,\cup\,\lbrace u_{k}~:~ k\in D_{0}'\rbrace \,\cup\,\lbrace y_{k}~:~ k,k-1\in D\rbrace ; \\ \rho & = & \rho _{0}\cup \rho _{1}\cup \rho _{2}\cup \rho _{3}. \end{array}
Pokazat ćemo da je S(f,\rho)-C(f,\rho)\lt 6\epsilon.

Za svaki q\in \rho, neka je q'=q ako je q=a, a inače neka je q' najveći element od \rho strogo manji od q. Za q\in \rho označimo
E_{q} \ := \ \big(\sup(f,[q',q])-f(q)\big)(q-q'),
pa je
S(f,\rho)-C(f,\rho) \ = \ \sum_{q\in \rho}E_{q} \ \leq \ \sum_{i=0}^{3}\left(\sum_{q\in \rho _{i}}E_{q}\right).
Ograničimo sada sume \displaystyle{\sum_{q\in Q_{i}}E_{q}}, za sve 0 \leq i \leq 3.

Prvo primijetimo da ako je g(x_{n-1})=g(x_{n}), tada je \sup(f,[b',b])=f(b) pa je E_{b}=0. S druge strane, ako je g(x_{n-1})\gt g(x_{n}) tada je n\in D pa je b'\in [x_{n-1},b) odakle slijedi E_{b}\lt \frac{B\delta}{2}. Budući da je E_{a}=0, dobivamo
\sum_{q\in \rho _{0}}E_{q} \ \lt \ \frac{B\delta}{2} \ \lt \ \epsilon.
Nadalje, primijetimo da, ako je q\in \rho _{1} tada je q'=a ili q'\in \rho _{2}. U oba slučaja je \sup(f,[q',q])-f(q)\lt \frac{\epsilon}{b-a}, i stoga
\sum_{q\in \rho _{1}}E_{q} \ \lt \ \epsilon.
Ako je q\in \rho _{2} tada je q-q'\lt \frac{\epsilon}{B|D'|}, a budući da je |\rho _{2}|\leq |D'|, to povlači
\sum_{q\in \rho _{2}}E_{q} \ \lt \ B|D'|\cdot\frac{\epsilon}{B|D'|} \ = \ \epsilon.
Konačno, neka je q\in \rho _{3}. Ako je q=z_{k}\ne y_{k} za neki k\in D_{1}', tada je g(q)=f(q) i q'=y_{k} pa je q-q'\lt \frac{\delta}{2}. Ako je q=u_{k} za neki k\in D_{0}', tada je |f(q)-g(q)|\lt \frac{\epsilon}{b-a} i q'=y_{k} pa je ponovo q-q'\lt \frac{\delta}{2}. Ako je q=y_{k} za k,k-1\in D, tada
g(x_{k-1})-\frac{\epsilon}{b-a} \ \leq \ f(q) \ \leq \ g(q) \ \leq \ g(x_{k-1})
i q'=y_{k-1} pa je q-q'\lt \delta. Dakle, u svim slučajevima je q-q'\lt \delta\leq\delta_{1} i |f(q)-g(q)|\lt \frac{\epsilon}{b-a}. Neka je sada \bar{\rho} proizvoljna razdioba od [a,b] koja proširuje \rho _{3}\cup\lbrace q'~:~ q\in \rho _{3}\rbrace, zadovoljava \Vert \bar{\rho} \Vert \lt \delta_{1}, i nema točaka u intervalima (q',q) za q\in \rho _{3}. Tada je
\begin{array}{lllll} \displaystyle{\sum_{q\in \rho _{3}}E_{q}} & = & \displaystyle{\sum_{q\in \rho _{3}}\big(\sup(f,[q',q])-f(q)\big)(q-q')} & & \\ & \leq & \displaystyle{\sum_{q\in \rho _{3}}\big(g(q')-f(q)\big)(q-q')} & & \\ & \lt & \displaystyle{\epsilon+\sum_{q\in \rho _{3}}\big(g(q')-g(q)\big)(q-q')} & & \\ & \leq & \displaystyle{\epsilon+\sum_{q\in \bar{\rho} }\big(g(q')-g(q)\big)(q-q')} & & \\ & = & \displaystyle{\epsilon+\sum_{q\in \bar{\rho} } g(q')(q-q') - \sum_{q\in \bar{\rho} }g(q)(q-q')} & \lt & 3\epsilon. \end{array}
Uvažimo li sada gornje ograde za sume \displaystyle{\sum_{q\in Q_{i}}E_{q}}, za sve 0 \leq i\leq 3, dobivamo:
S(f,\rho)-C(f,\rho) \ = \ \sum_{q\in \rho }E_{q} \ \lt \ 6\epsilon,
što dokazuje početnu tvrdnju, budući da je \epsilon bio proizvoljan.
\ \blacksquare

Korolar 8. Ako je f:[a,b]\to\mathbb{R} ograničena, tada za svaki \epsilon\gt 0 postoji razdioba \rho od [a,b] takva da je
C(f,\rho)-s(f,\rho)\lt \epsilon.

Dokaz. Primijenimo Lemu 7 na funkciju -f.
\ \blacksquare

Teorem 9. Neka je f:[a,b]\to\mathbb{R} ograničena funkcija. Ako je f Cauchy-integrabilna, tada je f Riemann-integrabilna.

Dokaz. Neka je L realan broj iz definicije Cauchy-integrabilnosti od f na [a,b]. Neka je \epsilon\gt 0 proizvoljan, i fiksirajmo \delta\gt 0 takav da za sve razdiobe \rho od [a,b] takve da je \Vert \rho \Vert \lt \delta, vrijedi |C(f,\rho)-L|\lt \epsilon. Neka je \rho =\lbrace x_{k}\rbrace _{k=0}^{n} razdioba od [a,b] takva da je \Vert \rho \Vert \lt \delta. Koristeći Lemu 7 i Korolar 8, za svaki 1\leq k\leq n odaberimo razdiobe \rho _{k}^{S} i \rho _{k}^{s} od [x_{k-1},x_{k}] takve da na [x_{k-1},x_{k}] vrijedi
S(f,\rho _{k}^{S})-C(f,\rho _{k}^{S}) \ \lt \ \frac{\epsilon}{n}\quad\text{i}\quad C(f,\rho _{k}^{s})-s(f,\rho _{k}^{s}) \ \lt \ \frac{\epsilon}{n}.
Neka je \rho^{S}=\cup_{k} \rho^{S}_{k} i \rho^{s}=\cup_{k} \rho^{s}_{k}. Tada je
S(f,\rho^{S})-C(f,\rho^{S}) \ \lt \ \epsilon\quad\text{i}\quad C(f,\rho^{s})-s(f,\rho^{s}) \ \lt \ \epsilon.
Budući da je \Vert \rho^{S} \Vert ,\Vert \rho^{s} \Vert \lt \delta, imamo
|C(f,\rho^{S})-L| \ \lt \ \epsilon\quad\text{i}\quad |C(f,\rho^{s})-L| \ \lt \ \epsilon.
Slijedi
S(f,\rho^{S})-s(f,\rho^{s}) \ \lt \ 4\epsilon.
Budući da je \epsilon proizvoljan, odavde lagano slijedi da je f Riemann-integrabilna na [a,b].
\ \blacksquare



Opaska 10. Pretpostavka o ograničenosti iz Teorema 9 je očito nužna (vidi Primjedbu 6). Može se pokazati da Cauchyjev integral u slučaju iz Primjedbe 6 zapravo odgovara nepravom Riemannovom integralu
\lim _{\varepsilon \to 0+} \int_{\varepsilon}^{1}\!x^{-1/2}\,dx.




Bibliografija
[1] A.-L. Cauchy, Résumé des Leçons sur le Calcul Infinitesimal. (1823), p. 81.
 
[2] D.C. Gillespie. The Cauchy definition of a definite integral, Annals of Mathematics (2) 17 (1915), 61–63.
 
[3] B. Guljaš, Matematička analiza 1 i 2. skripta, https://web.math.pmf.unizg.hr/~guljas/skripte/MATANALuR.pdf
 
[4] S. Kurepa. Matematička analiza 1. Tehnička knjiga, Zagreb, 1989.
 
[5] S. Kurepa, Matematička analiza 2, Tehnička knjiga, Zagreb, 1990.
 
[6] P. Pandžić, J. Tambača, Integrali funkcija više varijabli, skripta, https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/predavanja_int.html
 
[7] S. Schneider. A note on Cauchy integrability. International Mathematical Forum 9 (2014), 1615–1620.
 

 

Share this